Question

Найдите область значений функции y=2-3arccos(3x-1)​

Answer 1

Начнем с области значений функции арккосинуса:

$E(\arccos x)=[0;\ \pi]$

Пользуясь тем, что график функции $y=\arccos (3x-1)$ получается из графика функции $y=\arccos x$ только за счет его сжатия к оси ординат и переноса вдоль оси абсцисс, запишем:

$E\left(\arccos (3x-1)\right)=[0;\ \pi]$

Перепишем это в виде двойного неравенства:

$0\leqslant\arccos (3x-1)\leqslant\pi$

Проведем цепочку преобразований:

$3\cdot 0\leqslant3\cdot\arccos (3x-1)\leqslant3\cdot\pi$

$0\leqslant3\arccos (3x-1)\leqslant3\pi$

$-3\pi\leqslant-3\arccos (3x-1)\leqslant0$

$2-3\pi\leqslant2-3\arccos (3x-1)\leqslant2+0$

$2-3\pi\leqslant2-3\arccos (3x-1)\leqslant2$

Таким образом, мы оценили значение выражения $2-3\arccos (3x-1)$, то есть нашли требуемую область значений:

$E(y)=[2-3\pi ;\ 2]$

Answer 2

Чтобы найти область значений функции \(y = 2 - 3\arccos(3x-1)\), давайте рассмотрим её составляющие части.

Функция \(\arccos(x)\) представляет обратную функцию косинуса и принимает значения в диапазоне \([0, \pi]\), где \(\pi\) - это число пи (приблизительно 3.14159).

Таким образом, для функции \(y = 2 - 3\arccos(3x-1)\), мы умножаем значение \(\arccos(3x-1)\) на 3, затем вычитаем это из 2.

Область значений будет зависеть от того, в каких пределах может изменяться \(\arccos(3x-1)\).

Так как \(\arccos(x)\) принимает значения в интервале \([0, \pi]\), то \(\arccos(3x-1)\) будет принимать значения в интервале \([0, 3\pi]\), так как мы умножаем аргумент на 3.

Теперь у нас есть выражение \(2 - 3\arccos(3x-1)\). Поскольку \(\arccos(3x-1)\) изменяется от 0 до \(3\pi\), то выражение \(2 - 3\arccos(3x-1)\) будет изменяться от \(2 - 3 \cdot 3\pi\) до \(2\).

Таким образом, область значений функции \(y = 2 - 3\arccos(3x-1)\) - это интервал от \(-7\pi\) до \(2\).