Question

Решить неравенство: (x^2 + 2x)^2 - 11(x^2 + 2x) + 24 < 0Пусть x^2+2x=tТогда t^2-11t+24<0 Дальше что? Как решать? ​

Answer 1

Ответ:

(-4 ; -3) и (1 ; 2)

Объяснение:

Верный ход решения:

Пусть x^2+2x=t

Тогда t^2-11t+24<0

Имеем:

t²-11t+24<0

Приравняем это выражение к 0 для нахождения минимального и максимального значения t

t²-11t+24=0

По теореме Виетта:

t1+t2=11

t1×t2=24

t1 = 3, t2 = 8.

Теперь у нас есть значения t. Представляем их в выражение x²+2x=t

1) При t= 3

x²+2x=3

x²+2x-3=0

По теореме Виетта:

x1+x2= -2

x1×x2= -3

x1= -3 ; x2=1

2) При t=8

x²+2x=8

x²+2x-8=0

По теореме Виетта:

x1+x2= -2

x1×x2= -8

x1= -4 ; x2= 2.

Получаем 4 корня x: -4 , 2 , -3 , 1

Возвращаемся к главному неравенству и находим при каких X оно будет меньше нуля:

Для этого рисуем прямую и отмечаем корни в порядке возрастания, рисуем между корнями дуги и отмечаем их знак, начиная с самой правой дуги (она положительная, т.к. все x в неравенстве положительные) и закрашиваем те дуги, в которых стоит знак минус ( - ). Записываем ответ в виде интервалов:

(-4 ; -3) и (1 ; 2)

Answer 2

Для решения неравенства t^2-11t+24<0, нужно разложить его на множители и найти корни. Тогда получим:

t^2-11t+24<0 (t-3)(t-8)<0

Корни неравенства: t=3 и t=8.

Теперь нужно построить знаковую схему неравенства на числовой прямой. Для этого отметим корни на прямой и разделим ее на три интервала: (-∞; 3), (3; 8) и (8; +∞). Затем выберем по одной точке из каждого интервала и подставим их в неравенство. Если неравенство выполняется, то интервал входит в решение, если нет, то не входит. Например, выберем точки -1, 5 и 10:

(-1-3)(-1-8)<0 (-4)(-9)<0 36<0 - неверно, значит интервал (-∞; 3) не входит в решение.

(5-3)(5-8)<0 (2)(-3)<0 -6<0 - верно, значит интервал (3; 8) входит в решение.

(10-3)(10-8)<0 (7)(2)<0 14<0 - неверно, значит интервал (8; +∞) не входит в решение.

Таким образом, решением неравенства t^2-11t+24<0 является интервал (3; 8).

Но мы исходно заменили x^2+2x=t, поэтому нужно выразить x через t. Для этого решим квадратное уравнение x^2+2x=t:

x^2+2x-t=0 D=4+4t x=(-2±√(4+4t))/2 x=-1±√(1+t)

Теперь подставим t=3 и t=8 в выражение для x и получим:

x=-1±√(1+3) x=-1±2 x=-3 или x=1

x=-1±√(1+8) x=-1±3 x=-4 или x=2

Таким образом, решением исходного неравенства (x^2+2x)^2-11(x^2+2x)+24<0 является множество {-4; -3}∪{1; 2}.как решать квадратные неравенства