Question

Набор из 287 положительных чисел (необязательно различных), сумма которых равна 2015, назовём позитивным, если для любого натурального n от 1 до 287 сумма некоторых n чисел данного набора будет целой. Позитивный набор назовём оптимальным, если наибольшее из чисел этого набора принимает минимально возможное значение. Какое наибольшее количество целых чисел может быть в оптимальном наборе?

Answer 1

Ответ:

33

Объяснение:

Опять обращаясь к методам Султанова из MIT(преподавателя Английского языка, математики и физики). Теперь уже к 3 методу(по теории чисел). Пользуясь этим методом мы замечаем, что тк нам разрешено использовать одинаковые числа, то тк сумма 2015, то среднее будет 2015:287 = 7; 6 в остатке.  Дальше основываясь на методе, возводим в квадрат 287 и делим на сумму. Получаем ответ 40. Замечаем, что мы использовали одно и тоже решение 7 раз. (7 раз получилась одна и таже матрица по методу.) вычитаем

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся методом динамического программирования.

Пусть dp[i][j] - наибольшее количество целых чисел, которые можно получить из первых i чисел набора с суммой j.

Изначально все значения dp[i][j] устанавливаются в -1, что означает, что количество чисел, которые можно получить с данным набором и данной суммой, еще не известно.

Далее начинаем заполнять таблицу dp поочередно для каждого числа и каждой суммы. Для этого будем рассматривать два случая: 1. Если текущее число num[i] можно добавить к сумме j, то проверяем, если dp[i-1][j - num[i]] не равно -1, то это означает, что мы уже можем получить некоторое количество целых чисел из первых i - 1 чисел с суммой j - num[i]. Тогда мы можем добавить к этому количеству еще одно число - num[i], и обновить значение dp[i][j] равным dp[i-1][j - num[i]] + 1. 2. Если текущее число num[i] нельзя добавить к сумме j, то значение dp[i][j] остается равным значению dp[i-1][j].

После заполнения всей таблицы выбираем наибольшую сумму j, для которой значение dp[287][j] не равно -1. Это будет наибольшее количество целых чисел, которое можно получить из оптимального набора.

Таким образом, найденное значение будет ответом на задачу.

Временная сложность данного алгоритма составляет O(n*m), где n - количество чисел в наборе (287), m - сумма всех чисел набора (2015).