Question

Набор из 405 положительных чисел (необязательно различных), сумма которых равна 2029, назовём позитивным, если для любого натурального n от 1 до 405 сумма некоторых n чисел данного набора будет целой. Позитивный набор назовём оптимальным, если наибольшее из чисел этого набора принимает минимально возможное значение. Какое наибольшее количество целых чисел может быть в оптимальном наборе?

Answer 1

Відповідь:

405+405+405+405+9

Пояснення:

Answer 2

Чтобы набор был позитивным, для каждого натурального числа n от 1 до 405, сумма некоторых n чисел данного набора должна быть целым числом.

Рассмотрим оптимальный набор. В этом наборе наибольшее число принимает минимально возможное значение. Пусть это число равно x.

Так как сумма всех чисел в наборе равна 2029, то сумма всех чисел, кроме x, должна быть равна 2029 - x. Это значит, что сумма всех чисел, кроме x, должна быть кратна числу x.

Так как x является наибольшим числом в наборе, то сумма всех чисел, кроме x, должна быть меньше x. Поэтому, чтобы сумма всех чисел, кроме x, была кратна x, она должна быть равна 0.

Таким образом, оптимальный набор будет состоять из одного числа x, которое будет равно 2029.

Ответ: в оптимальном наборе будет наибольшее количество целых чисел - 1.