Question

Доведіть, що значення виразу кратне 9 при всіх цілих значеннях а: (а-2)(а+2)-(а-11)(а+2)

Answer 1

(а-2)(а+2)-(а-11)(а+2) = (a+2)(a-2-(a-11))= (a+2)(a-2-a+11)= (a+2)*9

В результате преобразований получили произведение, одним из множителей которого является число 9, значит это произведение кратно 9. Следовательно, числу 9 кратно и исходное выражение. Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доведення, що значення виразу кратне 9 при всіх цілих значеннях \(а: (а-2)(а+2)-(а-11)(а+2)\), спрямуємося на властивості кратності чисел 9.

Кратне число - це таке число, яке ділиться на 9 цілком, тобто без остачі.

Скористаємося розкладом на множники та властивостями дій:

\((a-2)(a+2)-(a-11)(a+2)\)

Розкладаємо кожен дуже добутку на множники:

\((a^2-4)-(a^2-13a+22)\)

Розкриваємо дужки:

\(a^2-4 - a^2 + 13a - 22\)

Скорочуємо подібні члени:

\(13a - 26\)

Тепер зауважимо, що кожне число з 13a-26 є кратним 13-ти, оскільки множник 13 множиться на a.

Тоді, щоб довести, що значення виразу кратне 9 при всіх цілих значеннях a, необхідно довести, що значення 13a-26 кратне 9.

Тут ми можемо захиститися від дотримання властивості, що сума двох або більше кратних 9 є кратним 9.

Оскільки число 13a не обов'язково кратне 9, ми можемо вирівняти його до найближчого кратного 9 числа, зберігши баланс:

13a = 9a + 4a

Тоді:

13a - 26 = 9a + 4a - 26 = 9a - 22a - 26

Візьмемо до уваги, що 22a також не обов'язково кратне 9, і повторимо процедуру:

22a = 18a + 4a

Отримуємо:

9a - 22a - 26 = 9a - 18a - 4a - 26 = 9a - 18a - 4a - 26

Тепер застосуємо властивості кратності 9 та додамо члени:

9a - 18a - 4a - 26 = -13a - 26

Отже, ми бачимо, що вираз -13a - 26 є кратним 9, оскільки можемо розкласти його як -9a - 4a - 26, де -9a це кратне 9, -4a - це кратне 9 та -26 є кратним 9.

Таким чином, ми довели, що значення виразу кратне 9 при всіх цілих значеннях a.