Question

СРОЧНО!! 10б Докажите что при данном условии значение выражения является положительным числом: a-2/a^2+2a+4 + 6a/a^3-8 при a>2​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

((a-2)/(a^2+2a+4)) + ((6a/(a^3-8)) при a>2​

a-2>0  равносильно  a>2

a^2+2a+4>0  сумма положительных выражений >0

6a>0  положительное выражение >0

a^3-8 равносильно a>2

все числители и знаменатели >0 ⇒ дроби и их сумма >0

Answer 2

Для доказательства, что выражение \( \frac{a-2}{a^2+2a+4} + \frac{6a}{a^3-8} \) является положительным числом при \( a > 2 \), мы можем разложить его на простые дроби и проанализировать знаки слагаемых.

Данное выражение можно представить в виде суммы двух дробей:

\[ \frac{a-2}{a^2+2a+4} + \frac{6a}{a^3-8} \]

1. Рассмотрим первое слагаемое: \( \frac{a-2}{a^2+2a+4} \). Выражение в числителе можно представить в виде \( a - 2 = a - 2 \cdot 1 \), что позволяет провести факторизацию знаменателя.

\[ \frac{a-2}{a^2+2a+4} = \frac{a-2}{(a+2)^2} \]

Заметим, что знаменатель всегда положителен, так как это квадрат суммы. Теперь рассмотрим числитель. Если \( a > 2 \), то \( a - 2 > 0 \), следовательно, первое слагаемое положительно.

2. Рассмотрим второе слагаемое: \( \frac{6a}{a^3-8} \). Знаменатель \( a^3-8 \) можно представить в виде разности кубов: \( a^3-8 = (a-2)(a^2+2a+4) \). Таким образом, второе слагаемое можно переписать:

\[ \frac{6a}{a^3-8} = \frac{6a}{(a-2)(a^2+2a+4)} \]

Заметим, что \( a > 2 \), следовательно, \( a-2 > 0 \). Также, знаменатель \( a^2+2a+4 \) всегда положителен, так как это квадрат суммы. Следовательно, второе слагаемое также положительно.

Теперь, когда оба слагаемых положительны, их сумма также будет положительной. Таким образом, выражение \( \frac{a-2}{a^2+2a+4} + \frac{6a}{a^3-8} \) положительно при \( a > 2 \).