Question

Вычислите неопределенный интеграл S(x+1)²×x²dx​

Answer 1

Ответ:

Integral(x^2*(x + 1)^2 = x, C + x^5/5 + x^4/2 + x^3/3)

Answer 2

Для вычисления неопределенного интеграла ∫(x+1)² × x² dx, мы можем использовать метод интегрирования по частям или замену переменной. Давайте рассмотрим оба подхода.

Метод интегрирования по частям:

Для применения метода интегрирования по частям, мы используем формулу ∫u dv = uv - ∫v du, где u и v - это функции, которые мы выбираем.

Пусть u = (x+1)² и dv = x² dx. Тогда du = 2(x+1) dx и v = (1/3)x³.

Применяя формулу интегрирования по частям, получим: ∫(x+1)² × x² dx = (x+1)² × (1/3)x³ - ∫(1/3)x³ × 2(x+1) dx

Упростим это выражение: ∫(x+1)² × x² dx = (1/3)(x+1)² × x³ - (2/3) ∫(x+1) × x³ dx

Теперь мы можем продолжить интегрирование второго слагаемого с помощью метода интегрирования по частям.

Пусть u = x+1 и dv = x³ dx. Тогда du = dx и v = (1/4)x⁴.

Применяя формулу интегрирования по частям, получим: ∫(x+1) × x³ dx = (x+1) × (1/4)x⁴ - ∫(1/4)x⁴ dx

Упростим это выражение: ∫(x+1) × x³ dx = (1/4)(x+1) × x⁴ - (1/4) ∫x⁴ dx

Теперь мы можем вычислить последний интеграл: ∫x⁴ dx = (1/5)x⁵ + C

Теперь, подставим все полученные результаты обратно в исходное выражение: ∫(x+1)² × x² dx = (1/3)(x+1)² × x³ - (2/3) ((1/4)(x+1) × x⁴ - (1/4) ((1/5)x⁵ + C))

Замена переменной:

Для применения метода замены переменной, мы выбираем новую переменную, которая поможет упростить интеграл. В данном случае, давайте попробуем заменить x+1 = t.

Тогда dx = dt и x = t-1.

Подставляя эти значения в исходный интеграл, получим: ∫(x+1)² × x² dx = ∫t² × (t-1)² dt

Раскроем скобки и упростим выражение: ∫t² × (t-1)² dt = ∫(t⁴ - 2t³ + t²) dt

Теперь мы можем проинтегрировать каждый член по отдельности: ∫t⁴ dt - 2∫t³ dt + ∫t² dt

Интегрируя каждый член, получим: (1/5)t⁵ - (1/2)t⁴ + (1/3)t³ + C

Теперь, заменим обратно t на x+1: (1/5)(x+1)⁵ - (1/2)(x+1)⁴ + (1/3)(x+1)³ + C

Вот и все! Это является неопределенным интегралом ∫(x+1)² × x² dx.