Question

Вопрос, возрастает или убывает функция На промежутке [3;4]Напишите пожалуйста подробно с решением, не подставляя числа а через фоомулу:Функция возрастает еслиx2>x1; y2>y1​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1) при x₂>x₁

x₂-1>x₁-1

1/(x₂-1) <1/(x₁-1) так как из двух дробей больше та у которой меньше знаменатель

умножим предыдущее неравенство на (-1), при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный

-1/(x₂-1) >-1/(x₁-1) ⇒ y₂>y₁ ⇒ функция возрастает на всей области определения в том числе и на промежутке [3;4]

2) решение через производную

y'=-2((x-1)⁻¹)'=-2(-1)/(x-1)²=2/(x-1)²>0 на всей области определения в том числе и на промежутке [3;4]

⇒ y возрастает на всей области определения

Answer 2

Чтобы определить, возрастает ли функция на заданном промежутке, можно воспользоваться производной функции. Если производная положительна на данном интервале, то функция возрастает. Давайте разберемся подробно.

Пусть у нас есть функция \( y = f(x) \) и промежуток \( [3;4] \).

Чтобы выяснить, возрастает ли функция на этом интервале, рассмотрим производную функции \( f'(x) \). Если \( f'(x) > 0 \) для всех \( x \) из промежутка \( [3;4] \), то функция \( f(x) \) возрастает на этом интервале.

Теперь, если у нас есть функция \( y = f(x) \), то производная \( f'(x) \) будет представлять собой изменение функции по отношению к \( x \). Если \( f'(x) > 0 \), это означает, что функция возрастает.

Резюмируем:

1. Вычисляем производную функции \( f(x) \). 2. Проверяем знак производной на интервале \( [3;4] \). 3. Если производная положительна на всем интервале, то функция возрастает на этом промежутке.

Давайте рассмотрим более подробный пример:

Пусть \( f(x) = x^2 \). Тогда производная \( f'(x) \) будет равна \( 2x \).

1. Вычислим производную: \( f'(x) = 2x \). 2. Проверим знак производной на интервале \( [3;4] \): - При \( x < 0 \) производная \( f'(x) \) отрицательна. - При \( 0 < x < 3 \) производная \( f'(x) \) положительна. - При \( x > 3 \) производная \( f'(x) \) также положительна.

Таким образом, функция \( f(x) = x^2 \) возрастает на интервале \( [3;4] \).

Надеюсь, это поможет вам понять, как определить возрастание функции на заданном интервале через производные.