Question

Решите показательное неравенство〖4/3〗^(2х-1) ≥ 3/4

Answer 1

$(\frac{4}{3} )^{2x-1} \geq \frac{3}{4}$

$(\frac{4}{3} )^{2x-1} \geq(\frac{4}{3} )^{-1}$

Так как основание  $\frac{4}{3} >1$, то для знак неравенства выполняется и для показателей степени.

$2x-1 \geq -1$

$2x\geq 1-1$

$x\geq 0:2$

$x\geq 0$

Ответ:  $[0;+\infty)$

Answer 2

Для решения показательного неравенства, рассмотрим два случая:

Случай 1: Пусть 2х-1 ≥ 0 (так как база выражения должна быть положительной). В этом случае мы можем убрать неравенство и решить уравнение:

(4/3)^(2х-1) ≥ 3/4

Умножим обе части неравенства на (3/4)^(2х-1):

[(4/3)^(2х-1)] * [(3/4)^(2х-1)] ≥ [3/4] * [(3/4)^(2х-1)]

Сократим дроби на обеих сторонах:

[(4/3) * (3/4)]^(2х-1) ≥ 3/4 * [(3/4)^(2х-1)]

(1)^(2х-1) ≥ 3/4 * [(3/4)^(2х-1)]

Теперь мы можем упростить левую часть неравенства, так как любое число, возведенное в степень 0, равно 1:

1 ≥ 3/4 * [(3/4)^(2х-1)]

Далее мы можем убрать дробь, умножив обе части неравенства на 4/3:

(4/3) * 1 ≥ (4/3) * [3/4 * (3/4)^(2х-1)]

4/3 ≥ 3/3 * [(3/4)^(2х-1)]

Упрощаем:

4/3 ≥ (3/4)^(2х-1)

Таким образом, мы получили новое показательное неравенство, которое должно удовлетворять условию 2х-1 ≥ 0:

4/3 ≥ (3/4)^(2х-1)

На этом этапе мы можем быстро изобразить график этого неравенства, чтобы понять, какие значения x удовлетворяют его условиям.

Случай 2: Пусть 2х-1 < 0 (так как база выражения должна быть положительной). В этом случае мы можем сделать поправку на направление неравенства, умножив обе части на (4/3)^(1 - 2х):

[(4/3)^(2х-1)] * [(4/3)^(1 - 2х)] ≥ [3/4] * [(4/3)^(1 - 2х)]

[(4/3)^(2х-1 + 1 - 2х)] ≥ 3/4 * [(4/3)^(1 - 2х)]

[(4/3)^0] ≥ 3/4 * [(4/3)^(1 - 2х)]

1 ≥ 3/4 * [(4/3)^(1 - 2х)]

Упростим единицу и продолжим сравнение:

4/4 * (4/3)^(2х-1) ≥ 3/4 * [(4/3)^(1 - 2х)]

(4/4) * (4/3)^(2х-1) ≥ (3/3) * [(4/3)^(1 - 2х)]

4/3 * (4/3)^(2х-1) ≥ 4/3 * [(4/3)^(1 - 2х)]

Сокращаем дроби на обеих сторонах:

(4/3)^(2х-1 + 1) ≥ (4/3)^(1 - 2х)

(4/3)^2 ≥ (4/3)^(1 - 2х)

Выражения в обеих частях неравенства имеют одну и ту же базу, но различные степени. Поэтому для выполнения неравенства должны выполняться два условия:

1) 2х-1 + 1 ≥ 2 2) 1 - 2х ≥ 0

1) 2х ≥ 1 х ≥ 1/2

2) 1≥ 2х х ≤ 1/2

Таким образом, условия для второго случая являются х ≤ 1/2 и х ≥ 1/2, что противоречит друг другу.

Итак, решение показательного неравенства (4/3)^(2х-1) ≥ 3/4 является:

x ≤ 1/2 или x ≥ 1/2