Question

Докажите тождество: (x-y)³ = -(y-x)³​

Answer 1

Ответ:

Сначала первое выражение

(x-y)³=x³-3x²y+3xy²-b³

А теперь второе

-(y-x)³= -(y³-3y²x+3yx²-x³)= -y³+3xy²-3x²y+x³=x³-3x²y+3xy²-b³

что доказывает

(x-y)³ = -(y-x)³

Answer 2

Ответ: чтобы доказать тождество нужно доказать, что его правая и левая части равны, т.е. свести его к виду «выражение» = «такое же выражение».

Объяснение:

(x-y)³ = -(y-x)³​

(x-y)×(x-y)×(x-y) = -1×(y-x)×(-1)×(y-x)×(-1)×(y-x)

(x-y)×(x-y)×(x-y) = (x-y)×(x-y)×(x-y)

(x²-xy-xy+y²)×(x-y) = (x²-xy-xy+y²)×(x-y)

(x²-2xy+y²)×(x-y) = (x²-xy-xy+y²)×(x-y)

x³-2x²y+xy²-x²y+2xy²-y³ = x³-2x²y+xy²-x²y+2xy²-y³

x³-3x²y+3xy²-y³ = x³-3x²y+3xy²-y³

ну, или можно было сразу воспользоваться формулой сокращённого умножения (прикреплю картинку)

тогда было бы намноооого легче:

(x-y)³ = -(y-x)³​

-(y-x)³​ = (x-y)³, потому что когда мы умножаем выражение на -1, то знаки меняются на противоположный:

-(y-x)³​ = (-1)×(y-x)³​=(y×(-1) - x×(-1))³ =  (-y+x)³​ = (x-y)³​

(x-y)³ = (x-y)³

x³-3x²y+3xy²-y³ = x³-3x²y+3xy²-y³

Answer 3

Конечно, давайте докажем это тождество. Начнем с раскрытия куба разности \( (x - y)^3 \):

\((x - y)^3 = (x - y)(x - y)(x - y)\)

Мы можем использовать свойство раскрытия скобок для выражения \( (x - y)^3 \):

\((x - y)(x - y)(x - y) = (x^2 - 2xy + y^2)(x - y)\)

Теперь раскроем скобки \( (x^2 - 2xy + y^2)(x - y) \):

\((x^2 - 2xy + y^2)(x - y) = x^3 - 2x^2y + xy^2 - x^2y + 2xy^2 - y^3\)

Упростим это выражение:

\(x^3 - 2x^2y + xy^2 - x^2y + 2xy^2 - y^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3\)

Теперь рассмотрим выражение \(-(y - x)^3\):

\(-(y - x)^3 = -(y - x)(y - x)(y - x)\)

Аналогично, мы раскроем скобки:

\(-(y - x)(y - x)(y - x) = -(y^2 - 2xy + x^2)(y - x)\)

Теперь раскроем скобки \(-(y^2 - 2xy + x^2)(y - x)\):

\(-(y^2 - 2xy + x^2)(y - x) = -y^3 + 2xy^2 - x^2y + y^2x - 2xy^2 + x^3\)

Упростим это выражение:

\(-y^3 + 2xy^2 - x^2y + y^2x - 2xy^2 + x^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3\)

Таким образом, мы видим, что \( (x - y)^3 = -(y - x)^3 \). Это доказывает тождество \( (x - y)^3 = -(y - x)^3 \).