Question

Пожалуйста, даю 20 балов найти площадь фигуры ограниченной линиями y=1/x^2, y=x, x=2, y=0

Answer 1

Ответ:

$\frac{1}{ {x}^{2} } = x \\ {x}^{3} = 1 \\ x = 1$

Точка пересечения x=1

$\int_{0}^{1} xdx = ( \frac{ {x}^{2} }{2} ) | _{0}^{1} = \frac{ {1}^{2} }{2} - \frac{ {0}^{2} }{2} = \frac{1}{2}$

$\int _{1}^{2} \frac{1}{ {x}^{2} } dx = ( - \frac{1}{x} ) | _{1}^{2} = - \frac{1}{2} - ( - 1) = - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

S=

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

Площадь фигуры, ограниченной этими линиями равен 1 квадратной единице

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями y=1/x^2, y=x, x=2 и y=0, мы можем воспользоваться методом интегрирования. Первым шагом будет найти точки пересечения этих линий.

Начнем с линий y=1/x^2 и y=x. Чтобы найти точки пересечения, приравняем уравнения друг к другу:

1/x^2 = x

Умножим обе части уравнения на x^2, чтобы избавиться от знаменателя:

1 = x^3

Теперь возведем обе части уравнения в куб и получим:

x^3 = 1

Решив это уравнение, мы найдем одну точку пересечения (1, 1).

Теперь рассмотрим линии y=x и x=2. Подставим x=2 в уравнение y=x и получим:

y = 2

Таким образом, точка пересечения этих линий равна (2, 2).

Итак, у нас есть две точки пересечения: (1, 1) и (2, 2). Теперь мы можем построить график этих линий и фигуры, ограниченной ими.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0.1, 2.5, 100)
y1 = 1/x**2
y2 = x
y3 = np.zeros_like(x)

plt.plot(x, y1, label='y=1/x^2')
plt.plot(x, y2, label='y=x')
plt.fill_between(x, y1, y3, where=(x>=1) & (x<=2), color='gray', alpha=0.5)

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Фигура, ограниченная линиями')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()


Теперь, чтобы найти площадь фигуры, мы можем вычислить определенный интеграл:

$$\int_{1}^{2} (1/x^2 - x) dx$$

$$= \int_{1}^{2} (x^{-2} - x) dx$$

Вычислим этот интеграл:

from scipy.integrate import quad

def integrand(x):
    return x**-2 - x

result, error = quad(integrand, 1, 2)
print("Площадь фигуры равна: ", result)

Полученный результат будет являться площадью фигуры, ограниченной линиями y=1/x^2, y=x, x=2 и y=0.