Question

Составить уравнение плоскости, проходящей через прямые x−1/3=y+2/2=z−5/−2 и ⎧ ⎪x=7+2t ⎨y=2−3t ⎪z=1+4t ⎩

Answer 1

Составить уравнение плоскости, проходящей через прямые (x−1)/3=(y+2)/2=(z−5(/(-2) и

⎪x=7+2t

⎨y=2−3t

⎪z=1+4t

Написать уравнение плоскости, проходящей через две заданные прямые можно, если эти прямые  параллельны или пересекающиеся.

Нужно найти координаты трех различных точек, две из которых лежат на одной из заданных прямых, а третья точка – на другой прямой, после чего записать уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Уравнение первой прямой представим в параметрическом виде.

(x−1)/3=(y+2)/2=(z−5)/(−2) = a.

x = 3a + 1,

y = 2a – 2,

z = -2a + 5.

По непропорциональным коэффициентам параметров видно что прямые не параллельны.

Найдём точку пересечения прямых  

x = 2t + 7,

y = -3t + 2,

z = 4t + 1,

 и  

x = 3a + 1,

y = 2a – 2,

z = -2a + 5.

Приравняем параметрические значения при одинаковых переменных.

2t + 7 = 3a + 1,

-3t + 2 = 2a – 2,

4t + 1 = -2a + 5.

   =>    

2t = 3a – 6,

-3t = 2a – 4,

4t = -2a + 4.

Приравняем правые части первого уравнения, умноженное на 2, и третье уравнение.

6a – 12 = -2a + 4,

8a = 16,

a = 16/8 = 2.

Подставим полученное значение а = 2 в параметрические уравнения второй прямой.

x = 3*2 + 1 = 7,

y = 2*2 – 2 = 2,

z = -2*2 + 5 = 1.

Найдём значение t по параметру а = 2.

2t = 3*2 – 6 = 0, t = 0,

-3t = 2*2 – 4 = 0, t = 0,

4t = -2*2 + 4 = 0, t = 0.

Подставим полученное значение t = 0 в параметрические уравнения первой прямой.

x = 2*0 + 7 = 7,

y = -3*0 + 2 = 2,

z = 4*0 + 1 = 1.

Значения перменных совпадают, значит, прямые пересекаются и найдена точка С их пересечения С(7; 2; 1).

Далее из уравнений прямых находим координаты не общих точек.

Из уравнения первой прямой (x−1)/3=(y+2)/2=(z−5)/(−2) определяем точку

А(1; -2; 5).

Найдём точку B на второй прямой, подставив t = 1.  

x = 2*1 + 7 = 9,

y = -3*1 + 2 = -1,

z = 4*1 + 1 = 5.

Найдена точка В(9; -1; 5).

По трём точкам А(1; -2; 5), В(9; -1; 5), С(7; 2; 1).составляем уравнение плоскости.

Находим векторы АB и АC.

Вектор АВ = (9-1; -1-(-2); 5-5) = (8; 1; 0).

Вектор АC =  (7-1; 2-(-2); 1-5) = (6; 4; -4).

Нормальный вектор плоскости АBC находим из векторного произведения векторов АB и АC.

i         j        k|        i         j

8        1       0|        8       1

6       4       -4|       6       4 = -4i + 0j + 32k + 32j - 0i - 6k =

                                          = -4i + 32j + 26k.

Нормальный вектор плоскости АBC равен (-4; 32; 26).

Примем коллинеарный ему вектор с к = -2: (2; -16; -13)

Уравнение плоскости, проходящей через точку Mo(xo;yo;zo), с нормальным вектором n=(A;B;C) имеет вид A·(x–xo)+B·(y–yo)+C·(z–zo)=0.  

Подставим данные: А(1; -2; 5), n = (2; -16; -13).

2·(x – 1) + (-16)· (y + 2) + (-13)·(z - 5) = 0.

2x - 2 - 16y - 32 - 13z + 65 = 0.

2х - 16y - 13z + 31=0.

О т в е т. 2х - 16y - 13z + 31 = 0.

Answer 2

Для составления уравнения плоскости, проходящей через две прямые, необходимо использовать точку и нормальный вектор этой плоскости.

Нахождение точки на плоскости

Прежде всего, нам нужно найти точку, через которую проходит плоскость. В данном случае, плоскость должна проходить через прямую, заданную уравнениями:

x = 7 + 2t
y = 2 - 3t
z = 1 + 4t

Чтобы найти точку на этой прямой, мы можем выбрать любое значение параметра t. Давайте выберем t = 0 для простоты. Подставим t = 0 в уравнения прямой:

x = 7 + 2(0) = 7
y = 2 - 3(0) = 2
z = 1 + 4(0) = 1

Таким образом, точка на прямой с t = 0 будет (7, 2, 1).

Нахождение нормального вектора плоскости

Чтобы найти нормальный вектор плоскости, мы можем использовать направляющие векторы прямых, через которые проходит плоскость. В данном случае, у нас есть две прямые:

x - 1/3 = y + 2/2 = z - 5/(-2)

Таким образом, направляющий вектор первой прямой будет (1, 2, -2), а направляющий вектор второй прямой будет (2, -3, 4).

Составление уравнения плоскости

Теперь, когда у нас есть точка на плоскости и нормальный вектор этой плоскости, мы можем составить уравнение плоскости с использованием формулы:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

где (x0, y0, z0) - координаты точки на плоскости, A, B, C - компоненты нормального вектора плоскости.

Подставим значения в формулу:

(1, 2, -2)(x - 7) + (2, -3, 4)(y - 2) + (1, 2, -2)(z - 1) = 0

Раскроем скобки и упростим:

(x - 7) + 2(y - 2) - 2(z - 1) = 0

x - 7 + 2y - 4 - 2z + 2 = 0

x + 2y - 2z - 9 = 0

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через прямые x - 1/3 = y + 2/2 = z - 5/(-2) и x = 7 + 2t, y = 2 - 3t, z = 1 + 4t, будет:

x + 2y - 2z - 9 = 0