Question

Докажите, что значение выражения 16^6 - 4^10 кратно 15

Answer 1

Ответ: 16^6=16777216

            4^10=1048576

            16777216-1048576=15728640 и если мы наш ответ поделим на 15 и будет целый ответ тогда можем сказать,что число кратно 15

15728640:15=1048576 Это целое число,значит оно кратно 15.

         

Answer 2

Для доказательства этого утверждения можно использовать метод математической индукции. Этот метод состоит из двух шагов: базы индукции и индуктивного перехода. Вот подробное решение:

База индукции: при n = 1, выражение 16^6 - 4^10 равно 16^5 - 4^9, что кратно 15, так как 16^5 - 4^9 = 15 * (1048576 - 262144).

Индуктивный переход: предположим, что при некотором n = k, выражение 16^6 - 4^10 кратно 15. Тогда при n = k + 1, выражение 16^(6k + 6) - 4^(10k + 10) можно преобразовать следующим образом:

16^(6k + 6) - 4^(10k + 10) = 16^6 * 16^(6k) - 4^10 * 4^(10k) = 16^6 * (16^6 - 4^10) * 16^(6k - 1) + 4^10 * (16^6 - 4^10) * 4^(10k - 1)

Заметим, что первое слагаемое кратно 15, так как 16^6 - 4^10 кратно 15 по предположению индукции, а второе слагаемое кратно 15, так как 16^6 - 4^10 кратно 15 по базе индукции. Следовательно, сумма этих слагаемых также кратна 15.

Из базы индукции и индуктивного перехода следует, что выражение 16^6 - 4^10 кратно 15 при любом натуральном n. Это и есть доказательство.