Question

Доведіть що вираз x²-14x+50 набуває додатних значень при будь-якому значені x.Якого найменшого значення набуває цей вираз і при якому значенні x

Answer 1

Ответ:

при х=7, у(min)=1

Объяснение:

Найдём  дискриминант.

$d = \sqrt{ {b}^{2} - 4ac} = \sqrt{196 - 200} < 0$

т.к. дискриминант < 0, то график функции не пересекает ось Х.

т.к. а>0, ветки параболы направлены вверх.

Найдём вершину параболы.

$x0 = \frac{ - b}{2a} = \frac{14}{2} = 7$

$y0 = {7}^{2} - 14 \times 7 + 50 = 1$

(0;7)- вершина параболы.

Мы видим, что функция принимает только положительные значения при всех х, принадлежащим R.(ветки параболы направлены вверх и парабола не пересекает ось 0X)

Answer 2

Для того чтобы доказать, что выражение x²-14x+50 всегда принимает положительные значения при любом значении x, мы можем использовать метод завершения квадрата.

Рассмотрим выражение x²-14x+50. Мы хотим привести его к виду (x-a)²+b, где a и b - некоторые константы.

Для этого мы можем воспользоваться следующими шагами: 1. Выделим квадратный член x² и линейный член -14x: x²-14x+50 = (x²-14x+49) + 1. 2. Заметим, что x²-14x+49 является квадратом бинома (x-7)². 3. Подставим это обратно в исходное выражение: x²-14x+50 = (x-7)² + 1.

Таким образом, мы получаем, что x²-14x+50 всегда равно квадрату разности x-7, увеличенному на 1. Поскольку квадрат любого числа всегда неотрицательный, то (x-7)² всегда неотрицательно. А прибавление 1 к неотрицательному числу дает положительное число.

Теперь рассмотрим, при каком значении x выражение (x-7)² примет наименьшее значение. Поскольку это квадрат разности, то минимальное значение будет достигаться при x=7. Подставим x=7 в выражение (x-7)² + 1: (7-7)² + 1 = 0 + 1 = 1.

Таким образом, наименьшее значение выражения x²-14x+50 равно 1 и достигается при x=7.