Question

Боковые стороны трапеции равны 15 см и 17 см, а длины оснований относятся как 5: 3. Найди площадь трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность.

Answer 1

1)  Если в трапецию можно вписать окружность, то сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон.

$3x$  cм  - меньшее основание

$5x$  см - большее основание.

Уравнение

$3x+5x=15+17$

$8x=32$

$x=32:8$

$x=4$

$3*4=12$  см - меньшее основание

$5*4=20$  см - большее основание.

2)  Получаем:  

   два основания  $a=12$ см;  $b=20$ см

  боковые стороны    $c=15$ см; $d=17$ см.

$S=\frac{a+b}{2}\sqrt{c^2-(\frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2(b-a)})^2 }$   -  формула площади трапеции через четыре стороны.

$S=\frac{12+20}{2}\sqrt{15^2-(\frac{(20-12)^2+15^2-17^2}{2*(20-12)})^2 } =$

$=16}\sqrt{225-(\frac{64+225-289}{2*8})^2 }=$

$=16}\sqrt{225-0^2 }=16*15=240$

$S=240$ см²

Ответ: $240$ см²

Answer 2

Давайте обозначим боковые стороны трапеции как \(a\) и \(b\), где \(a = 15 \, \text{см}\) и \(b = 17 \, \text{см}\). Также обозначим длины оснований как \(h_1\) и \(h_2\), где \(h_1 : h_2 = 5 : 3\).

Исходя из этого, мы можем записать соотношение:

\[ \frac{h_1}{h_2} = \frac{5}{3} \]

Теперь давайте представим длины оснований в виде:

\[ h_1 = 5x, \quad h_2 = 3x \]

где \(x\) - коэффициент пропорциональности. Таким образом, длины оснований трапеции будут:

\[ h_1 = 5x, \quad h_2 = 3x \]

Теперь мы знаем, что в трапецию можно вписать окружность. Это означает, что сумма длин боковых сторон трапеции равна длине окружности, вписанной в трапецию. Длина окружности \(C\) вычисляется по формуле:

\[ C = 2\pi r \]

где \(r\) - радиус вписанной окружности.

Так как боковые стороны трапеции служат в качестве высоты вписанной окружности, то сумма боковых сторон равна длине окружности:

\[ a + b = 2\pi r \]

Подставим значения \(a = 15 \, \text{см}\) и \(b = 17 \, \text{см}\):

\[ 15 + 17 = 2\pi r \]

\[32 = 2\pi r\]

\[r = \frac{32}{2\pi} = \frac{16}{\pi} \, \text{см}\]

Теперь мы можем использовать радиус вписанной окружности для вычисления площади трапеции. Площадь трапеции \(S\) вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} (h_1 + h_2) \cdot a \]

Подставим значения:

\[ S = \frac{1}{2} (5x + 3x) \cdot (h_1 + h_2) \]

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 8x \cdot (5x + 3x) \]

\[ S = 4x \cdot 8x \]

\[ S = 32x^2 \]

Теперь подставим \(x = \frac{16}{\pi}\):

\[ S = 32 \left(\frac{16}{\pi}\right)^2 \]

Таким образом, площадь трапеции, в которую можно вписать окружность, равна \(32 \left(\frac{16}{\pi}\right)^2\) квадратных сантиметров.