Question

Найти экстремум функции y=-x-3e^-x

Answer 1

Х=ln3

Решение задания прилагаю

Answer 2

Экстрема функции y=-x-3e^-x

Максимум: (In(3)

Минимум: -In(3)-1)

Из этого получаем экстрему:

Ответ: Х=In3

Answer 3

Чтобы найти экстремум функции \(y = -x - 3e^{-x}\), нужно найти её производные первого и второго порядка, приравнять их к нулю и решить полученные уравнения.

1. Найдем первую производную \(y'\):

\[y = -x - 3e^{-x}\]

Дифференцируем обе стороны по \(x\):

\[y' = -1 + 3e^{-x}\]

2. Найдем вторую производную \(y''\):

Дифференцируем первую производную:

\[y'' = 3e^{-x}\]

3. Приравняем первую производную к нулю и решим уравнение:

\[-1 + 3e^{-x} = 0\]

\[3e^{-x} = 1\]

\[e^{-x} = \frac{1}{3}\]

\[x = -\ln\left(\frac{1}{3}\right)\]

Подставим \(x\) в исходную функцию для нахождения \(y\):

\[y = -\left(-\ln\left(\frac{1}{3}\right)\right) - 3e^{\ln\left(\frac{1}{3}\right)}\]

4. Найдем значение второй производной в точке \(x = -\ln\left(\frac{1}{3}\right)\):

\[y''(-\ln\left(\frac{1}{3}\right)) = 3e^{-\ln\left(\frac{1}{3}\right)}\]

\[y''(-\ln\left(\frac{1}{3}\right)) = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1\]

Теперь проверим, является ли точка \(x = -\ln\left(\frac{1}{3}\right)\) точкой минимума, максимума или нет. Для этого используем вторую производную:

- Если \(y'' > 0\), то это точка минимума. - Если \(y'' < 0\), то это точка максимума. - Если \(y'' = 0\), то тест не дает информации.

В нашем случае \(y''(-\ln\left(\frac{1}{3}\right)) = 1\), что означает, что это точка минимума.

Таким образом, функция \(y = -x - 3e^{-x}\) имеет минимум в точке \(x = -\ln\left(\frac{1}{3}\right)\), и соответствующее значение \(y\) можно найти, подставив \(x\) в исходную функцию.