Question

Решите неравенство cos^2 (3x) > 3/4​

Answer 1

Ответ:

cos²(x) < 3/4|·2; Понизим степень

2cos²(x) < 3/2;

1 + cos2x < 3/2;

cos2x < 3/2 - 1;

cos2x < 1/2

Воспользуемся единичной окружностью (во вложении)

π/3 + 2πn < 2x < (5π)/3 + 2πn, n∈Z Делим все части неравенства на 2.

π/6 + πn < x < (5π)/6 + πn, n∈Z

Ответ: (π/6 + πn; (5π)/6 + πn), n∈Z

Answer 2

Давайте решим неравенство \( \cos^2(3x) > \frac{3}{4} \).

1. Начнем с основного тригонометрического тождества: \[ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \] Тождество гласит, что квадрат косинуса угла плюс квадрат синуса угла всегда равен 1. Мы можем переписать его как: \[ \cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta \]

2. Применим это тождество к нашему уравнению: \[ \cos^2 (3x) = 1 - \sin^2 (3x) \]

3. Подставим полученное выражение в исходное неравенство: \[ 1 - \sin^2 (3x) > \frac{3}{4} \]

4. Переносим все члены влево: \[ \sin^2 (3x) < 1 - \frac{3}{4} \] \[ \sin^2 (3x) < \frac{1}{4} \]

5. Теперь найдем значения \( \sin (3x) \), удовлетворяющие неравенству: \[ \sin (3x) < \frac{1}{2} \] (поскольку \(\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\))

6. Рассмотрим интервал значений для \( \sin (3x) \): \[ -\frac{\pi}{2} < 3x < \frac{\pi}{2} \]

7. Делим обе части на 3: \[ -\frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{6} \]

Таким образом, решением неравенства \( \cos^2(3x) > \frac{3}{4} \) является интервал: \[ -\frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{6} \]