Question

Найдите сумму: а)4+4²+4³+4⁴+4⁵; б)1-2+2²-2³+2⁴-2⁵+2⁶​

Answer 1

Объяснение:

$a)\ 4+4^2+4^3+4^4+4^5=?\\q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{4^2}{4} =4.\\S_n=b_1*\frac{q^n-1}{q-1}.\\S_5=4*\frac{4^5-1}{4-1}=\frac{4*(1024-1)}{3} =\frac{4*1023}{3}=4*341=1364.$

Ответ: S₅=1364.

$b)\ 1-2+2^2-2^3+2^4-2^5+2^6=?\\q=\frac{-2}{1}=-2.\\S_7=1*\frac{(-2)^7 -1}{-2-1}= \frac{-128-1}{-3}=\frac{-129}{-3}=43.$

Ответ: S₇=43.

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

а. 1364

б. 43

Answer 3

Давайте посчитаем каждую из заданных сумм.

а) \(4 + 4^2 + 4^3 + 4^4 + 4^5\)

Это является геометрической прогрессией, где \(a = 4\) (первый член), \(r = 4\) (знаменатель). Формула суммы геометрической прогрессии:

\[S = \frac{a \cdot (r^n - 1)}{r - 1},\]

где \(n\) - число членов прогрессии.

Подставим значения:

\[S = \frac{4 \cdot (4^5 - 1)}{4 - 1}.\]

Рассчитаем:

\[S = \frac{4 \cdot (1024 - 1)}{3} = \frac{4 \cdot 1023}{3} = \frac{4092}{3}.\]

б) \(1 - 2 + 2^2 - 2^3 + 2^4 - 2^5 + 2^6\)

Это арифметико-геометрическая прогрессия. Разбиваем её на две части: часть с четными показателями и часть с нечетными.

\[S = (1 + 2^2 + 2^4 + 2^6) - (2 + 2^3 + 2^5).\]

Теперь выражаем суммы:

\[S = \frac{1 \cdot (2^8 - 1)}{2^2 - 1} - \frac{2 \cdot (2^6 - 1)}{2^3 - 1}.\]

Рассчитаем:

\[S = \frac{255}{3} - \frac{126}{7} = \frac{255 \cdot 7 - 126 \cdot 3}{21} = \frac{1785 - 378}{21} = \frac{1407}{21} = 67.\]

Таким образом, ответы:

а) \(S = \frac{4092}{3}\)

б) \(S = 67\)