Question

СРОЧНОООО для функції f(x)=1/x^2 знайдіть первісну F(x), якщо F(1/2)=-6

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x^2}\\\\F(x)=\int \dfrac{dx}{x^2}=\dfrac{x^{-2+1}}{-2+1}+C=-\dfrac{1}{x}+C\\\\\\F(1/2)=-6\ \ \to \ \ \ -6=-\dfrac{1}{1/2}+C\ \ ,\ \ \ -6=-2+C\ \ ,\ \ \ C=-4\\\\\\\\\boxed{\ F(x)=-\dfrac{1}{x}-4\ }$

Answer 2

Щоб знайти первісну функції f(x) = 1/x^2, спочатку використаємо правило інтегрування для функції x^n, де n не дорівнює -1.

Функція f(x) = 1/x^2 може бути записана у вигляді f(x) = x^(-2).

Тоді, інтеграл від f(x) буде:

F(x) = ∫(x^(-2)) dx.

Застосуємо правило інтегрування:

F(x) = x^(-2 + 1)/(1 - 2 + 1) + C = x^(-1)/(-1) + C = -1/x + C.

Тут C - це довільна константа, яку додають після інтегрування.

Тепер, щоб знайти значення константи C, використаємо умову F(1/2) = -6.

Підставимо x = 1/2 у вираз для F(x):

-1/(1/2) + C = -2 + C = -6.

Тоді C = -6 + 2 = -4.

Отже, первісна функції f(x) = 1/x^2 є F(x) = -1/x - 4.