Question

Решите пожалуйста 2sin^2x+3sinx+1=0

Answer 1

Ответ:

$\boxed{ \left[ \begin{gathered} x = (-1)^{n + 1} \left \dfrac{\pi}{6} + \pi n \\ \ x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n \end{gathered} \ \ \ n \in \mathbb Z }$

Объяснение:

$2 \sin^{2} x + 3 \sin x + 1 = 0$

Замена: $\sin x = t; t \in [-1;1]$

$2t^{2} + 3t + 1 = 0$

$D = 9 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 = 1^{2}$

$t_{1} = \dfrac{-3 + 1}{2 \cdot 2} = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2}$

$t_{2} = \dfrac{-3 - 1}{2 \cdot 2} = \dfrac{-4}{4} = -1$

$\left[ \begin{gathered} \sin x = -\dfrac{1}{2} \\ \sin x = -1 \end{gathered}$  $\left[ \begin{gathered} x = (-1)^{n} arcsin \left ( -\dfrac{1}{2} \right) + \pi n \\ \ x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n \end{gathered} \ \ \ n \in \mathbb Z$

$\left[ \begin{gathered} x = (-1)^{n} \left ( -\dfrac{\pi}{6} \right) + \pi n \\ \ x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n \end{gathered} \ \ \ n \in \mathbb Z$     $\left[ \begin{gathered} x = (-1)^{n + 1} \left \dfrac{\pi}{6} + \pi n \\ \ x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n \end{gathered} \ \ \ n \in \mathbb Z$

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте введем временную переменную u = sin(x). Тогда уравнение примет вид:

2u^2 + 3u + 1 = 0

Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или квадратного уравнения. Однако, в данном случае, факторизация не даст нам рациональных корней, поэтому воспользуемся квадратным уравнением.

Для нахождения корней квадратного уравнения вида au^2 + bu + c = 0, мы можем использовать формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

Далее, мы можем использовать формулы для нахождения корней:

u = (-b + sqrt(D)) / (2a) и u = (-b - sqrt(D)) / (2a)

В нашем случае, a = 2, b = 3 и c = 1. Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

D = 3^2 - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1

Таким образом, у нас есть два корня:

u = (-3 + sqrt(1)) / (2 * 2) = (-3 + 1) / 4 = -2/4 = -1/2

и

u = (-3 - sqrt(1)) / (2 * 2) = (-3 - 1) / 4 = -4/4 = -1

Теперь, чтобы найти значения переменной x, мы можем использовать обратную функцию синуса для каждого значения u:

x = arcsin(u)

Таким образом, первый корень будет:

x = arcsin(-1/2)

и второй корень будет:

x = arcsin(-1)

Поэтому, решение уравнения 2sin^2x + 3sinx + 1 = 0 будет:

x = arcsin(-1/2) и x = arcsin(-1)

Обратите внимание, что значения arcsin находятся в определенном диапазоне. В данном случае, диапазон для arcsin находится между -π/2 и π/2. Таким образом, вам может понадобиться учесть этот факт при решении уравнения.