Question

Найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии (an) , если: а) а1=14, а14=-12 б) а5=43, а15=143

Answer 1

1.

$\displaystyle a_1=14; a_{14}=-12=a_1+13d;\\\\14+13d=-12\\\\13d=-26\\\\d=-2\\\\S_{12}=\frac{2a_1+11d}{2}*12=\frac{2*14-22}{2}*12=6*6=36$

2.

$\displaystyle a_5=a_1+4d=43\\\\a_{15}=a_1+14d=143\\\\10d=100\\\\d=10\\\\a_1=43-40=3\\\\S_{12}=\frac{2*3+11*10}{2}*12=(6+110)*6=116*6=696$

Answer 2

Для нахождения суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии можно воспользоваться формулой суммы членов такой прогрессии:

\[ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \]

где \( S_n \) - сумма первых \( n \) членов, \( a_1 \) - первый член, \( a_n \) - \( n \)-й член.

Для решения задачи посмотрим на условия:

Задание (а)

Для прогрессии с \( a_1 = 14 \) и \( a_{14} = -12 \).

1. Найдем разность прогрессии \( d \): \[ d = \frac{a_{14} - a_1}{14 - 1} = \frac{-12 - 14}{14 - 1} = \frac{-26}{13} = -2 \] 2. Теперь найдем \( a_7 \), так как \( a_7 \) - это седьмой член прогрессии, а сумма первых 12 членов это половина суммы первого и двенадцатого членов. \[ a_7 = a_1 + 6d = 14 + 6 \times (-2) = 14 - 12 = 2 \] 3. Теперь найдем сумму первых 12 членов: \[ S_{12} = \frac{12}{2}(a_1 + a_{12}) = 6(14 + a_7) = 6(14 + 2) = 6 \times 16 = 96 \]

Задание (б)

Для прогрессии с \( a_5 = 43 \) и \( a_{15} = 143 \).

1. Найдем разность прогрессии \( d \): \[ d = \frac{a_{15} - a_5}{15 - 5} = \frac{143 - 43}{15 - 5} = \frac{100}{10} = 10 \] 2. Теперь найдем \( a_{12} \), так как \( a_{12} \) - это двенадцатый член прогрессии. \[ a_{12} = a_5 + 7d = 43 + 7 \times 10 = 43 + 70 = 113 \] 3. Найдем сумму первых 12 членов: \[ S_{12} = \frac{12}{2}(a_5 + a_{12}) = 6(43 + 113) = 6 \times 156 = 936 \]

Таким образом, сумма первых 12 членов: - Для задания (а) равна 96. - Для задания (б) равна 936.