Question

40 балов известно что в геометрической прогрессии разность шестого и четвертого членов равна 60, а разность третьего и пятого членов равна 15. Найдите первый член данной прогрессии и знаменатель​

Answer 1

$\displaystyle\bf\\\left \{ {{b_{6} -b_{4} =60} \atop {b_{3}-b_{5} =15 }} \right. \\\\\\\left \{ {{b_{1} \cdot q^{5} -b_{1} \cdot q^{3} =60} \atop {b_{1} \cdot q^{2} -b_{1} \cdot q^{4} }=15} \right.\\\\\\:\left \{ {{b_{1} q^{3} \cdot(q^{2} -1)=60} \atop {b_{1} q^{2} \cdot(1-q^{2})=15 }} \right. \\-----------\\q=-4\\\\\\b_{1}q^{2} \cdot(1-q^{2} )=15\\\\b_{1} =\frac{15}{q^{2} (1-q^{2}) } =\frac{15}{(-4)^{2} \cdot(1-16)} =\frac{15}{16\cdot (-15)} =-\frac{1}{16} =-0,0625$

Answer 2

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии через \(a\) (это то, что нам нужно найти) и знаменатель прогрессии через \(q\).

Формула общего члена \(n\)-го члена \(a_n\) геометрической прогрессии выглядит следующим образом:

\[a_n = a \cdot q^{n-1}\]

Зная, что разность шестого и четвертого членов равна 60, мы можем записать:

\[a \cdot q^5 - a \cdot q^3 = 60\]

Также, разность третьего и пятого членов равна 15:

\[a \cdot q^2 - a \cdot q^4 = 15\]

Давайте выразим \(a\) через \(q\) из второго уравнения:

\[a \cdot q^2 - a \cdot q^4 = 15\] \[a \cdot (q^2 - q^4) = 15\] \[a = \frac{15}{q^2 - q^4}\]

Теперь подставим это выражение для \(a\) в первое уравнение:

\[a \cdot q^5 - a \cdot q^3 = 60\] \[\frac{15}{q^2 - q^4} \cdot q^5 - \frac{15}{q^2 - q^4} \cdot q^3 = 60\]

Далее, мы можем решить это уравнение для нахождения значения \(q\), а затем вычислить \(a\) с использованием этого значения.

\[15q^3 - 15q^5 = 60(q^2 - q^4)\] \[15q^3 - 15q^5 = 60q^2 - 60q^4\] \[15q^5 - 60q^4 + 60q^2 - 15q^3 = 0\] \[15q^2(q^3 - 4q^2 + 4) = 0\]

\[q^3 - 4q^2 + 4 = 0\]

Это уравнение для \(q\). Решив его, мы найдем значение \(q\).

Факторизуем выражение:

\[q^3 - 4q^2 + 4 = 0\] \[(q - 2)^2(q + 1) = 0\]

Отсюда получаем два возможных значения \(q\): \(q = 2\) или \(q = -1\).

Теперь, если \(q = 2\), мы можем найти \(a\):

\[a = \frac{15}{q^2 - q^4}\] \[a = \frac{15}{2^2 - 2^4}\] \[a = \frac{15}{4 - 16}\] \[a = \frac{15}{-12}\] \[a = -\frac{5}{4}\]

Если же \(q = -1\), вычислим \(a\) для этого случая:

\[a = \frac{15}{q^2 - q^4}\] \[a = \frac{15}{(-1)^2 - (-1)^4}\] \[a = \frac{15}{1 - 1}\] \[a = \frac{15}{0}\]

Однако, знаменатель равен нулю, что приводит к делению на ноль, что недопустимо. Таким образом, \(q = -1\) не является корректным значением для знаменателя.

Таким образом, значение знаменателя \(q = 2\) и значение первого члена \(a = -\frac{5}{4}\).