Question

Решите неравенство (с подробным решением) x^2-6x-16<0

Answer 1

Ответ:во вложении

Объяснение:

Answer 2

Чтобы решить неравенство \(x^2 - 6x - 16 < 0\), давайте воспользуемся методом интервалов.

1. Начнем с того, чтобы найти корни квадратного уравнения \(x^2 - 6x - 16 = 0\). Это можно сделать, используя квадратное уравнение:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В данном случае у нас уравнение \(x^2 - 6x - 16 = 0\), где \(a = 1\), \(b = -6\) и \(c = -16\). Подставим эти значения в формулу:

\[x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(-16)}}{2(1)}\]

\[x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}\]

\[x = \frac{6 \pm \sqrt{100}}{2}\]

\[x = \frac{6 \pm 10}{2}\]

Таким образом, получаем два корня:

\[x_1 = \frac{6 + 10}{2} = 8\]

\[x_2 = \frac{6 - 10}{2} = -2\]

2. Теперь разделим числовую прямую на три интервала с использованием найденных корней (-2 и 8): \((-\infty, -2)\), \((-2, 8)\), \((8, +\infty)\).

3. Выберем по одной точке из каждого интервала и подставим их в исходное неравенство, чтобы определить знак выражения \(x^2 - 6x - 16\) в каждом интервале.

- Для интервала \((-\infty, -2)\) возьмем \(x = -3\):

\[(-3)^2 - 6(-3) - 16 = 9 + 18 - 16 = 11 > 0\]

- Для интервала \((-2, 8)\) возьмем \(x = 0\):

\[0^2 - 6(0) - 16 = -16 < 0\]

- Для интервала \((8, +\infty)\) возьмем \(x = 9\):

\[(9)^2 - 6(9) - 16 = 81 - 54 - 16 = 11 > 0\]

4. Итак, у нас получаются знаки \(+, -, +\).

5. Теперь смотрим на неравенство и определяем, в каких интервалах оно будет выполняться:

\[x^2 - 6x - 16 < 0\]

- Выполняется, когда знак отрицателен: в интервале \((-2, 8)\).

Таким образом, решением неравенства \(x^2 - 6x - 16 < 0\) является интервал \((-2, 8)\).