Question

Для z=x^2+2y^2-3x+y найти d^2z ( 50 баллов )

Answer 1

Ответ:

$z=x^2+2y^2-3x+y\\\\\boxed{\ dz=z''_{xx}\, dx^2+2\, z''_{xy}\, dx\, dy+z''_{yy}\, dy^2\ }\\\\z'_{x}=2x-3\ \ ,\ \ \ \ z''_{xx}=2\ \ ,\ \ \ \ z''_{xy}=(z'_{x})'_{y}=(2x-3)'_{y}=0\\\\z'_{y}=4y+1\ \ ,\ \ \ \ z''_{yy}=4\ \ ,\ \ \ \ z''_{yx}=(z'_{y})'_{x}=(4y+1)'_{x}=0\\\\\\d^2z=2\cdot dx^2+0\cdot dx\cdot dy+4\, dy^2=2\, dx^2+4\, dy^2$

Answer 2

Для нахождения второй производной функции z(x,y) = x^2 + 2y^2 - 3x + y, необходимо сначала найти первые частные производные по переменным x и y, а затем взять их производные по тем же переменным.

Частная производная по x: ∂z/∂x = 2x - 3

Частная производная по y: ∂z/∂y = 4y + 1

Теперь найдем вторые частные производные.

Вторая производная по x: ∂²z/∂x² = ∂(2x - 3)/∂x = 2

Вторая производная по y: ∂²z/∂y² = ∂(4y + 1)/∂y = 4

Таким образом, вторая производная функции z(x,y) равна: d²z = ∂²z/∂x² + ∂²z/∂y² = 2 + 4 = 6

Ответ: d²z = 6.