Question

Доведіть тотожність 1)ctg²a-cos²a=ctg²acos²a2) 2sin²x+cos⁴x-sin⁴x=1​

Answer 1

Объяснение:

1)cos^2a/sin^2a-cos^2a=cos^2a/sin^2a-(cos^2a•sin^2a)/sin^2a=(cos^2a(1-sin^2a))/sin^2a=(cos^2a•cos^2a)/sin^2a=ctg^2a•cos^2a

2)2sin^2x+cos^2(2x)=2sin^2x+1-2sin^2x=1

cos^2(2x)=1-2sin^2x

Answer 2

1) Для доведення тотожності ctg²a - cos²a = ctg²a * cos²a, використаємо визначення тригонометричних функцій та базові тотожності.

Спочатку перетворимо ліву частину: ctg²a - cos²a = (1/tg a)² - cos²a = (cos²a/sin²a) - cos²a = cos²a/sin²a - cos²a = cos²a - cos²a * sin²a / sin²a = cos²a - cos²a * sin²a = cos²a * (1 - sin²a) = cos²a * cos²a = cos⁴a.

Отже, ліва частина рівності дорівнює cos⁴a.

Тепер перетворимо праву частину: ctg²a * cos²a = (cos²a/sin²a) * cos²a = cos²a * cos²a / sin²a = cos⁴a / sin²a.

Таким чином, права частина рівності дорівнює cos⁴a / sin²a.

Отже, ліва та права частини рівності співпадають, тому тотожність ctg²a - cos²a = ctg²a * cos²a доведена.

2) Для доведення тотожності 2sin²x + cos⁴x - sin⁴x = 1, також використаємо визначення тригонометричних функцій та базові тотожності.

Спочатку перетворимо ліву частину: 2sin²x + cos⁴x - sin⁴x = 2sin²x + (cos²x)² - (sin²x)² = 2sin²x + cos⁴x - sin²x = sin²x(2 + cos²x - 1) + cos⁴x = sin²x(cos²x + 1) + cos⁴x.

Тепер перетворимо праву частину: 1 = sin²x + cos²x (згідно базової тотожності).

Таким чином, права частина рівності дорівнює sin²x + cos²x.

Отже, ліва та права частини рівності співпадають, тому тотожність 2sin²x + cos⁴x - sin⁴x = 1 доведена.