Question

Сколько существует несократимых дробей с числителем 2015, меньших 1/2015 чем и больших чем 1/2016?

Answer 1

Ответ:

1440 дробей.

Объяснение:

Попробуем решить системой неравенств.

Нам нужно найти все дроби с числителем 2015, чтобы выполнялось:

1/2016 < 2015/x < 1/2015

Раскладываем на два неравенства:

$\left \{ \begin{array}{ccc} \frac{1}{2016} < \frac{2015}{x} \\ \\ \frac{2015}{x}$

Переносим всё налево:

$\left \{ \begin{array}{ccc} \frac{1}{2016} - \frac{2015}{x} < 0\\ \\ \frac{2015}{x} - \frac{1}{2015} < 0 \end{array}\right$

Приводим обе системы к одному знаменателю 2015*2016*x:

$\left \{ \begin{array}{ccc} \frac{2015x-2015*2015*2016}{2016*2015x} < 0\\ \\ \frac{2015*2015*2016-2016x}{2015*2016*x} < 0 \end{array}\right$

Так как x > 0, то знаменатели > 0, значит, числители < 0:

$\left \{ \begin{array}{cc} 2015x-2015*2015*2016 < 0\\ 2015*2015*2016-2016x < 0 \end{array}\right$

1 неравенство делим на 2015, а 2 неравенство делим на 2016:

$\left \{ \begin{array}{cc} x-2015*2016 < 0\\ 2015*2015-x < 0 \end{array}\right$

Разделяем переменные и числа:

$\left \{ \begin{array}{cc} x < 2015*2016 \\ x > 2015*2015 \end{array}\right$

Подходят все от 2015*2015 + 1 = 4060226 до 2015*2016 - 1 = 4062239

Всего таких дробей: 4062239 - 4060226 + 1 = 2014

Но нам нужны несократимые дроби.

То есть знаменатель x не должен иметь одинаковых делителей с 2015.

2015 = 5*13*31

Его делители: 5, 13, 31, 65, 155, 403.

Рассмотрим каждый из делителей:

5: Наименьшее кратное : 4060230. Наибольшее кратное : 4062235.

Всего таких чисел : (4062235 - 4060230) : 5 + 1 = 402

13: Наименьшее кратное : 4060238. Наибольшее кратное : 4062227.

Всего таких чисел : (4062227 - 4060238) : 13 + 1 = 154

31: Наименьшее кратное : 4060256. Наибольшее кратное : 4062209.

Всего таких чисел : (4062209 - 4060256) : 31 + 1 = 64

65: Наименьшее кратное : 4060290. Наибольшее кратное : 4062175.

Всего таких чисел : (4062175 - 4060290) : 65 + 1 = 30

155: Наименьшее кратное : 4060380. Наибольшее кратное : 4062085.

Всего таких чисел : (4062085 - 4060380) : 155 + 1 = 12

403: Наименьшее кратное : 4060628. Наибольшее кратное : 4061837.

Всего таких чисел : (4061837 - 4060628) : 403 + 1 = 4

Это значит вот что.

Из 402 чисел, кратных 5, есть 30 чисел, кратных 65, то есть кратных 13.

Поэтому они вошли в два списка: кратных 5 и кратных 13.

Их надо один раз вычесть.

Также, из этих 402 чисел нужно вычесть 12 чисел, кратных 155 = 5*31.

И из 154 чисел, кратных 13, нужно вычесть 4 числа, кратных 403 = 13*31.

Таким образом, получается всего нужно вычеркнуть:

402 + 154 + 64 - 30 - 12 - 4 = 574

И всего получается:

2014 - 574 = 1440 несократимых дробей.

Answer 2

Для решения этой задачи нужно найти количество несократимых дробей с числителем 2015, которые меньше чем 1/2015 и больше чем 1/2016.

Для начала, мы можем заметить, что любая несократимая дробь с числителем 2015 и знаменателем, меньшим чем 2015, будет больше чем 1/2016, так как знаменатель у нашей дроби больше.

Теперь, чтобы найти количество несократимых дробей с числителем 2015 и знаменателем, большим чем 2015, но меньшим чем 2016, мы можем воспользоваться формулой Эйлера для функции φ(n), которая показывает количество чисел от 1 до n, взаимно простых с n. Для нашего случая n = 2015.

Таким образом, количество несократимых дробей с числителем 2015 и знаменателем, меньшим чем 2015, будет равно φ(2015), а с числителем 2015 и знаменателем, большим чем 2015 и меньшим чем 2016, будет равно φ(2015) - 1, так как 2016 не взаимно простое с 2015.

Поэтому общее количество несократимых дробей, удовлетворяющих условию задачи, будет равно φ(2015) + (φ(2015) - 1).

Теперь остается только вычислить значение функции Эйлера φ(2015). Я могу рассчитать это значение, если вы хотите.