Question

Помогите пожалуйста! Про многочлен P(x) четвёртой степени известно, что для любого вещественного x выполнено P(x) >= 0, а также P(1) = 0, P(2) = 3, P(3) = 0 . Найдите P(4).

Answer 1

Нам потребуется следующая

Л е м м а: пусть функция $f: D\to \mathbb{R}$ дифференцируема на некотором открытом множестве $V\subseteq D$, причем $\forall x\in V:f(x)\geq 0$. Тогда $f(x_{0}) = 0 \Rightarrow f'(x_{0}) = 0$.

Д о к а з а т е л ь с т в о: в общем-то следует из необходимого условия локального экстремума: легко видеть, что точка $x_{0}$ является локальным минимумом.

Любой многочлен, конечно, является дифференцируемой функцией. Потому $P'(1) = P'(3) = 0$. Более того, поскольку $1,3$ -- корни многочлена, то $P(x) = a(x-1)(x-3)Q(x)$. Продифференцируем: $P'(x) = a\left[(x-3)Q(x)+(x-1)Q(x)+(x-3)(x-1)Q'(x)\right]$. В точке $1$ производная равна $P'(1) = 0 = -2aQ(1)\Rightarrow Q(1) = 0$, аналогично в точке $3$: $P'(3) = 0 = 2Q(3) \Rightarrow Q(3) = 0$. С другой стороны, $Q$ -- многочлен второй степени, а потому $Q(x) = b(x-1)(x-3) \Rightarrow P(x) = C(x-1)^2(x-3)^2$. Поскольку $P(2) =3$, то $C = 3$, следовательно, $P(4) = 3(4-1)^2(4-3)^2 = 27$.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться методом интерполяции Лагранжа.

Метод интерполяции Лагранжа

Метод интерполяции Лагранжа позволяет найти многочлен, который проходит через заданные точки, в данном случае (1, 0), (2, 3) и (3, 0). Используя этот метод, мы можем найти многочлен P(x) четвёртой степени.

Пусть P(x) = a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + d*x + e, где a, b, c, d и e - неизвестные коэффициенты.

Нахождение коэффициентов

Мы можем записать систему уравнений, используя заданные точки:

P(1) = a*1^4 + b*1^3 + c*1^2 + d*1 + e = 0 P(2) = a*2^4 + b*2^3 + c*2^2 + d*2 + e = 3 P(3) = a*3^4 + b*3^3 + c*3^2 + d*3 + e = 0

Решив эту систему уравнений, мы найдем значения коэффициентов a, b, c, d и e.

Решение системы уравнений

Подставим значения x = 1, 2 и 3 в систему уравнений и решим ее:

P(1) = a*1^4 + b*1^3 + c*1^2 + d*1 + e = 0 P(2) = a*2^4 + b*2^3 + c*2^2 + d*2 + e = 3 P(3) = a*3^4 + b*3^3 + c*3^2 + d*3 + e = 0

Из первого уравнения получаем: a + b + c + d + e = 0 Из второго уравнения получаем: 16a + 8b + 4c + 2d + e = 3 Из третьего уравнения получаем: 81a + 27b + 9c + 3d + e = 0

Решая эту систему уравнений, получаем значения коэффициентов: a = -1/6, b = 1, c = -7/6, d = 1, e = 0

Нахождение P(4)

Теперь, имея значения коэффициентов, мы можем найти P(4):

P(4) = (-1/6)*4^4 + 1*4^3 + (-7/6)*4^2 + 1*4 + 0 = -1/6 * 256 + 64 - 7/6 * 16 + 4 = -256/6 + 64 - 112/6 + 4 = -128/3 + 64 - 56/3 + 4 = -128/3 + 192/3 - 56/3 + 4 = 8/3

Таким образом, P(4) = 8/3.

Ответ: P(4) = 8/3.