Question

Не вычисляя корней x_1 и x_2 уравнения 3x^2-8x-15=0, найти: а) 1/x_1 +1/x_2 , б) x_1^2+x_2^2 , в) x_1/x_2 +x_2/x_1 .

Answer 1

Ответ:      а) - 8/15 ;  б) 17 1/9 ;  в) - 32 4/5 .  

Объяснение:

   3x² - 8x - 15 = 0 ;      D = 144 > 0 , тому корені існують ;

     x² - 8/3 x - 5 = 0 :   за Т. Вієта маємо :

        { x₁ + x₂ = 8/3 ,

        { x₁ * x₂ = - 5 .

   a)  1/x₁ + 1/x₂ = ( x₁ + x₂ )/( x₁x₂ ) = ( 8/3 )/(- 5 ) = - 8/15 ;

   б)  x₁² + x₂² = ( x₁ + x₂ )² - 2x₁x₂ = ( 8/3 )² - 2*(- 5 ) = 7 1/9 +10 = 17 1/9 ;

   в)   x₁/x₂ + x₂/x₁ = ( x₁² + x₂² )/( x₁x₂ ) = [ ( x₁ + x₂ )² - 2x₁x₂ ]/( x₁x₂ ) =

       =  ( x₁ + x₂ )²/( x₁x₂ )  - 2 = ( 17 1/9 )/(- 5 ) - 2 = - 30 4/5 - 2 = - 32 4/5 .

Answer 2

Для решения этой задачи нам не потребуется вычислять корни уравнения 3x^2-8x-15=0. Вместо этого мы можем использовать некоторые свойства исходного уравнения, чтобы найти значения выражений а), б) и в).

Свойства квадратных уравнений

Для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, с корнями x_1 и x_2, справедливы следующие свойства:

1. Сумма корней: x_1 + x_2 = -b/a 2. Произведение корней: x_1