Question

Найти наименьшее и наибольшее значение функции f(x)=(x-1)²+5 на отрезке [0;4]​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

     f( x ) = (x - 1)²+ 5 на відрізку   [ 0 ; 4 ]​  ;

   f '( x ) = [ (x - 1)²+ 5 ]' = 2*( x - 1 ) *( x - 1 )' + 0 = 2( x - 1 )*1 = 2( x - 1 ) ;

  f '( x ) = 2( x - 1 ) ;  f '( x ) = 0  при  х = 1 ;   1Є  [ 0 ; 4 ]​  ;

  f( 0 ) = ( 0 - 1 )² + 5 = 6 ;   f( 1 ) = ( 1 - 1 )² + 5 = 5 ;   f( 4 ) = ( 4 - 1 )² + 5 = 14 .

      min f( x ) = f( 1 ) = 5 ;     max f( x ) = f( 4 ) = 14 .

     [0;4]                               [0;4]  

Answer 2

Нахождение наименьшего и наибольшего значения функции f(x) = (x-1)² + 5 на отрезке [0;4]

Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции f(x) на отрезке [0;4], мы можем использовать метод дифференциального исчисления. Сначала найдем критические точки функции на данном отрезке, а затем определим их природу, чтобы найти экстремумы.

1. Нахождение производной функции: Для начала найдем производную функции f(x) = (x-1)² + 5. f'(x) = 2(x-1)

2. Нахождение критических точек: Критические точки функции находятся при f'(x) = 0. 2(x-1) = 0 x-1 = 0 x = 1

Таким образом, критическая точка функции f(x) находится при x = 1.

3. Определение природы критической точки: Для определения природы критической точки, проверим знак производной в окрестностях точки x = 1. - При x < 1, f'(x) < 0, значит, функция убывает. - При x > 1, f'(x) > 0, значит, функция возрастает.

Таким образом, у нас есть локальный минимум функции f(x) при x = 1.

4. Определение значений функции на концах отрезка: Найдем значения функции на концах отрезка [0;4]: f(0) = (0-1)² + 5 = 1 + 5 = 6 f(4) = (4-1)² + 5 = 9 + 5 = 14

5. Вывод: Таким образом, наименьшее значение функции f(x) = (x-1)² + 5 на отрезке [0;4] равно 6 (достигается в точке x = 0), а наибольшее значение равно 14 (достигается в точке x = 4).