Question

Решите уравнение (x-2)^4-x^2+4x-76=0 С помощью замены сведите уравнение к квадратному. Какое уравнение получится? 1) y^2+y+73=0 2) y^2-y-72=0 3) y^2-y-73=0 4) y^2-16y-72=0 Найдите сумму корней полученного квадратного уравнения. Найдите произведение корней исходного уравнения.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

(x-2)⁴-x²+4x-76=0

(x-2)⁴-x²+4x-4+4-76=0

(x-2)⁴-(x²-4x+4)+4-76=0

(x-2)⁴-(x-2)²-72=0

обозначим (х-2)²=у,  заметим что y≥0

y²-y-72=0

По теореме Виета

y₁=-8 и у₂=9

Найдем сумму корней полученного квадратного уравнения.

y₁+у₂=-8+9=-1

y₁+у₂=-1

y₁=-8 этот корень не подходит так как y≥0

и у₂=9

(х-2)²=9

х-2=±√9

х-2=±3

1) х-2=3

x₁=3+2

x₁=5

2) х-2=-3

x₂=-3+2

x₂=-1

x₁=5 ; x₂=-1

Найдем произведение корней исходного уравнения.

5*(-1)=-5

x₁*x₂=-5

Answer 2

Для решения данного уравнения сначала введем замену переменной. Положим y = x - 2. Тогда уравнение примет вид:

y^4 - 4y^2 + 4y - 76 = 0

Теперь сведем данное уравнение к квадратному. Умножим обе части уравнения на y^2:

y^6 - 4y^4 + 4y^3 - 76y^2 = 0

Теперь заметим, что данное уравнение является квадратным относительно y^3. Положим z = y^3. Тогда уравнение примет вид:

z^2 - 4z + 4 - 76z^(-1/2) = 0

Умножим обе части уравнения на z^(1/2):

z^(5/2) - 4z^(3/2) + 4z^(1/2) - 76 = 0

Полученное уравнение является квадратным относительно z^(1/2). Пусть t = z^(1/2). Тогда уравнение примет вид:

t^2 - 4t + 4 - 76 = 0

t^2 - 4t - 72 = 0

Таким образом, получаем квадратное уравнение: y^3 - 4y^2 + 4y - 76 = 0

Ответ: 3) y^2 - y - 73 = 0

Для нахождения суммы корней полученного квадратного уравнения, воспользуемся формулой суммы корней: S = -b/a, где a и b - коэффициенты при t^2 и t соответственно. В данном случае a = 1, b = -4. Тогда сумма корней равна S = -(-4)/1 = 4.

Для нахождения произведения корней исходного уравнения, воспользуемся формулой произведения корней: P = (-1)^n * c/a, где n - количество корней и c - свободный член. В данном случае n = 4 (по степени уравнения), c = -76 и a = 1. Тогда произведение корней равно P = (-1)^4 * (-76)/1 = 76.