Question

(x-2)⁴-x²+4x-76=0 С помощью замены y=(x-2)^2 сведите уравнение к квадратному. Какое уравнение получится? Найдите сумму корней полученного квадратного уравнения. Найдите произведение корней исходного уравнения.

Answer 1

$\displaystyle\bf\\(x-2)^{4} -x^{2} +4x-76=0\\\\(x-2)^{4} -(x^{2} -4x+4)-72=0\\\\(x-2)^{4} -(x-2)^{2} -72=0\\\\(x-2)^{2} =y\\\\\boxed{y^{2} -y-72=0}\\\\y_{1} +y_{2} =1\\\\y_{1} \cdot y_{2} =-72$

Answer 2

Для начала проведем замену переменной y=(x-2)^2. Тогда исходное уравнение примет вид:

y^2 - x^2 + 4x - 76 = 0

Теперь преобразуем уравнение, выразив x^2 и 4x через y:

y^2 - (x^2 - 4x + 4) - 80 = 0 y^2 - (x-2)^2 - 80 = 0

Теперь у нас получилось квадратное уравнение относительно y:

y^2 - (x-2)^2 = 80

Раскроем скобки:

y^2 - x^2 + 4x - 4 = 80

Получим квадратное уравнение:

y^2 - x^2 + 4x - 84 = 0

Теперь найдем сумму корней этого уравнения. Сумма корней квадратного уравнения равна противоположной коэффициенту при старшем члене, деленному на коэффициент при y^2. То есть сумма корней равна -4/1 = -4.

Далее найдем произведение корней исходного уравнения. Произведение корней квадратного уравнения равно свободному члену, деленному на коэффициент при y^2. То есть произведение корней равно -84/1 = -84.

Таким образом, сумма корней полученного квадратного уравнения равна -4, а произведение корней исходного уравнения равно -84.