Question

Доведіть що вираз x^2-6x+13 набуває додатних значеь при всіх значеннях х​

Answer 1

Ответ:

Выделим полный квадрат по формуле :

 $x^2-px+q=\Big(x-\dfrac{p}{2}\Big)^2-\Big(\dfrac{p}{2}\Big)^2+q$  .

$x^2-6x+13=(x-3)-3^2+13=(x-3)^2+4>0$

Получили , что квадратный трёхчлен можно представить в виде суммы неотрицательного выражения  $(x-3)^2\geq 0$   и положительного числа 4 .

А такая сумма будет положительной при любых значениях переменной  х .

Answer 2

Для того чтобы доказать, что выражение x^2 - 6x + 13 принимает положительные значения при всех значениях x, мы можем воспользоваться методом завершения квадрата.

Завершение квадрата

Для начала, давайте преобразуем выражение x^2 - 6x + 13 в виде завершенного квадрата. Для этого нам понадобится добавить и вычесть определенное число внутри скобки. В данном случае, мы добавим и вычтем 9:

x^2 - 6x + 13 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 13

Теперь давайте разложим квадратное трехчлен в скобке:

x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2

Подставим это обратно в исходное выражение:

(x^2 - 6x + 9) - 9 + 13 = (x - 3)^2 + 4

Доказательство положительности

Теперь мы можем заметить, что квадратное выражение (x - 3)^2 всегда будет больше или равно нулю. Это происходит потому, что квадрат любого числа всегда неотрицательный.

Таким образом, мы можем утверждать, что (x - 3)^2 + 4 всегда будет положительным числом. Даже если (x - 3)^2 равно нулю, добавление положительного числа 4 не изменит его положительность.

Исходя из этого, мы можем заключить, что выражение x^2 - 6x + 13 принимает положительные значения при всех значениях x.