Question

Функцію задано формулою f(x) = 4x³ Обчисліть 3 інтеграл 2 f(x)dx

Answer 1

Функция f(x) = 4x³

Первообразная функции равна

F(x) = ∫4x³ dx =  4x⁴/4 + C  = x⁴ +  C

Подставим значения х = 1 и F(x) = -1 в формулу первообразной

F(x)   = x⁴ +  C и найдём постоянную С

-1 = 1⁴ + С     ⇒    С = -2

Тогда первообразная F(x), проходящая через точку М(1; -1), имеет вид

F(x)   = x⁴ - 2

При х = 2 получим F(2) = 2⁴ - 2 = 16 - 2 = 14

F(2) = 14

Answer 2

Щоб обчислити інтеграл від функції f(x) = 4x³, спочатку треба знайти примітивну функцію (антипохідну) цієї функції. Процес знаходження антипохідної від функції полягає в знаходженні функції F(x), такої що F'(x) = f(x).

Знаходження примітивної функції

Для функції f(x) = 4x³, знаходження антипохідної відбувається за допомогою правил і формул інтегрування. Застосуємо формулу інтегрування для степеневих функцій:

∫ xⁿ dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C,

де C - довільна константа.

Застосуємо цю формулу до функції f(x) = 4x³:

∫ 4x³ dx = (1/(3+1)) * x^(3+1) + C = (1/4) * x⁴ + C.

Таким чином, примітивна функція (антипохідна) від f(x) = 4x³ є F(x) = (1/4) * x⁴ + C, де C - довільна константа.

Обчислення інтегралу

Тепер, коли ми знаходимо примітивну функцію F(x), можемо обчислити інтеграл ∫ 2 * f(x) dx.

∫ 2 * f(x) dx = 2 * ∫ f(x) dx = 2 * F(x) + C,

де C - довільна константа.

Застосуємо знайдену примітивну функцію F(x) = (1/4) * x⁴ + C:

∫ 2 * f(x) dx = 2 * [(1/4) * x⁴ + C] + C = (1/2) * x⁴ + 2C.

Таким чином, значення інтегралу ∫ 2 * f(x) dx дорівнює (1/2) * x⁴ + 2C, де C - довільна константа.

Зауважте, що це є загальна формула для обчислення інтегралу ∫ 2 * f(x) dx. Якщо вам дано конкретні значення, наприклад, верхню та нижню межі інтегрування, ви можете використовувати їх, щоб визначити конкретне числове значення інтегралу.