Question

Докажите, что произвольный набор интервалов на прямой, у которых нет общих точек, не более чем счётен

Answer 1

Пошаговое объяснение:

на этом сайте есть ответ

Answer 2

Для начала, давайте определим, что значит, что у произвольного набора интервалов на прямой нет общих точек. Это означает, что для любых двух интервалов из данного набора, их пересечение пусто, то есть не существует ни одной точки, которая принадлежит одновременно обоим интервалам.

Предположим, что у нашего набора интервалов нет общих точек и он несчетен. Это означает, что количество интервалов в наборе бесконечно. Обозначим эти интервалы как I_1, I_2, I_3, ...

Так как каждый интервал содержит бесконечное количество точек, выберем по одной точке из каждого интервала. Обозначим эти точки как x_1, x_2, x_3, ...

Теперь рассмотрим интервалы I_1, I_2, ..., I_n. Поскольку каждый интервал не имеет общих точек с другими интервалами, то выбранные нами точки x_1, x_2, ..., x_n должны принадлежать только одному интервалу. Без потери общности, предположим, что x_1 принадлежит I_1, x_2 принадлежит I_2, ..., x_n принадлежит I_n.

Теперь рассмотрим интервал I_{n+1}. Поскольку у нас нет общих точек между интервалами, то x_{n+1} не может принадлежать ни одному из интервалов I_1, I_2, ..., I_n. Однако, по построению, x_{n+1} должен принадлежать какому-то интервалу из набора. Противоречие.

Таким образом, мы пришли к противоречию, что набор интервалов без общих точек не может быть несчетным. Значит, любой набор интервалов на прямой, у которого нет общих точек, не более чем счетен.