Question

Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=x^4-2x^3+3 [-4;3]

Answer 1

находим производную 4x^3-6x^2
находим нули производной x1=0 x2=3/2
находим значение во всех 4х точках
y(-4)=256+128+3=387 максимум
y(3)=81-54+3=30
y(3/2)=81/16-27/4+3=81/16-108/16+48/16=21/16 минимум
y(0)=3

Answer 2

Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции y = x^4 - 2x^3 + 3 на интервале [-4, 3], мы можем использовать метод дифференцирования и анализа кривизны функции.

Нахождение критических точек: Сначала найдем критические точки функции, где производная равна нулю или не существует. Для этого возьмем первую производную функции и приравняем ее к нулю: y' = 4x^3 - 6x^2 = 0

Факторизуя это уравнение, мы получим: 2x^2(2x - 3) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных значения x: x = 0 и x = 3/2.

Анализ кривизны: Теперь мы можем использовать анализ кривизны, чтобы определить, как функция меняется между критическими точками и границами интервала [-4, 3].

1. Подставим x = -4 в функцию: y = (-4)^4 - 2(-4)^3 + 3 = 256 + 128 + 3 = 387

2. Подставим x = 0 в функцию: y = 0^4 - 2(0)^3 + 3 = 3

3. Подставим x = 3/2 в функцию: y = (3/2)^4 - 2(3/2)^3 + 3 ≈ 3.375

4. Подставим x = 3 в функцию: y = 3^4 - 2(3)^3 + 3 = 81 - 54 + 3 = 30

Таким образом, наименьшее значение функции на интервале [-4, 3] равно 3, а наибольшее значение равно 387.