Question

Можно решение с подробным объяснением? 5sin^2x+√3sinx cosx + 6cos^2x=5

Answer 1

Обобщим уравнение, решив общий случай. Дано уравнение вида

$a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=d$

Заметим, что за знаком равно коэффициент равен 1, следовательно, применим основное тригонометрическое тождество

$a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=d\sin^2x+d\cos^2x$

Приведём подобные

$(a-d)\sin^2x+b\sin x\cos x+(c-d)\cos^2x=0$

Заметим, что $\cos x=0$ дает решение тогда и только тогда, когда $a-d=0$, и в этом случае мы имеем

$\cos x(b\sin x+(c-d)\cos x)=0$

Если $a-d\neq 0$, то поделим всё на $\cos^2 x$ :

$(a-d)\mathrm{tg}^2x+b\mathrm{tg}+c-d=0$

Что является квадратным уравнением!

Распространяя на наш случай, мы можем заметить, что всё сокращается и сводится к вынесению общего множителя

$5\sin^2 x+\sqrt{3}\sin x\cos x+6\cos^2 x=5\sin^2 x+5\cos^2 x\\\sqrt{3}\sin x\cos x+\cos^2x =0\Rightarrow \cos x\left ( \sqrt{3}\sin x+\cos x \right )=0\\\cos x\left ( \sqrt{3}\mathrm{tg}+1 \right )=0\Rightarrow x=\left \{ \frac{\pi}{2}+\pi k;\frac{5\pi}{6}+\pi k \right \}, \; k\in \mathbb{Z}$

Answer 2

Конечно, я могу помочь с этим уравнением. Давайте начнем с решения уравнения 5sin^2x + √3sinx + cosx + 6cos^2x = 5.

Перепишем уравнение в более удобном виде

Для начала перепишем уравнение в более удобном виде, чтобы упростить его и найти решение. Уравнение, которое нам дано, выглядит следующим образом:

5sin^2x + √3sinx + cosx + 6cos^2x = 5

Используем тригонометрические тождества

Мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, чтобы упростить это уравнение. Например, мы знаем, что sin^2x + cos^2x = 1. Мы также можем использовать тригонометрические формулы для sin(2x) и cos(2x), чтобы упростить уравнение.

Замена переменных

Для решения уравнения воспользуемся заменой переменных. Обозначим sinx = a и cosx = b. Тогда уравнение примет вид:

5a^2 + √3a + b + 6b^2 = 5

Решение уравнения

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно переменной a. Мы можем решить его, используя стандартную технику решения квадратных уравнений. После нахождения значений переменной a, мы можем использовать их, чтобы найти значения переменной b.

Подстановка обратно и нахождение значений x

После нахождения значений переменных a и b, мы можем подставить их обратно в выражения sinx = a и cosx = b, чтобы найти значения переменной x.

Проверка решения

Важно помнить, что после нахождения решений мы должны проверить их, подставив их обратно в исходное уравнение, чтобы удостовериться, что они удовлетворяют уравнению.

Давайте начнем с раскрытия скобок и преобразования уравнения для поиска решения.