Question

Упростите выражение: (cos²a - ctg²a)×sin²a

Answer 1

$(cos^2\alpha - ctg^2\alpha )\cdot sin^2\alpha =(cos^2\alpha -\frac{cos^2\alpha }{sin^2\alpha })\cdot sin^2\alpha =cos^2\alpha \cdot sin^2\alpha -cos^2\alpha =\\\\=cos^2\alpha \cdot (sin^2-1)=cos^2\alpha \cdot (-cos^2\alpha )=-cos^4\alpha$

Answer 2

Для упрощения данного выражения воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Тригонометрическое тождество 1: cos²a - sin²a = cos(2a) Тригонометрическое тождество 2: ctg²a = 1 - cos²a

Заменим ctg²a в исходном выражении по тождеству 2:

(cos²a - ctg²a)×sin²a = (cos²a - (1 - cos²a))×sin²a = (cos²a - 1 + cos²a)×sin²a = (2cos²a - 1)×sin²a

Далее, используем тождество 1:

(2cos²a - 1)×sin²a = cos(2a)×sin²a

Таким образом, упрощенное выражение равно cos(2a)×sin²a.