Question

Відомо, що x+y= 2. Доведіть, що (корень)х^2 + 4у^2 + (корень)у^2+4х^2 >=3(корень)2.

Answer 1

Объяснение:

x=2-y
√(2-y)²+4y²+√y²+4(2-y)²≥3√2
2-y+4y²+y+4(4-4y+y²)≥3√2
4y²+2+16-16y+4y²≥3√2
8y²-16y+18≥3√2
2(4y²-8y+9)≥3√2
4y²-8y+9≥1,5√2
Теперь нам нужно доказать, что фунцкия 4y²-8y+9 не пересекает точку ниже 1,5√2 т.е. y≥1,5√2
У данной параболы вершина y будет = -b/2a=8/2*4=1; 4*1²-8+9=5
Значит 4y²-8y+9≥1,5√2
ЧТД

Answer 2

Для розв'язання даної задачі нам знадобиться використання математичних тотожностей та нерівностей. Давайте розглянемо її крок за кроком.

Запис відомого рівняння

Маємо дане рівняння: x + y = 2.

Використання нерівності Коші-Буняковського

Ми можемо скористатися нерівністю Коші-Буняковського для певних дійсних чисел a, b, c та d: \[ (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2. \]

Застосування нерівності Коші-Буняковського

Давайте використаємо цю нерівність для виразу \( (x^2 + 4y^2)(y^2 + 4x^2) \): \[ (x^2 + 4y^2)(y^2 + 4x^2) \geq (xy + 2xy)^2. \]

Розв'язання нерівності

Тепер ми можемо продовжити розв'язання, виконавши операції з цією нерівністю.