Question

При каком значении параметра λ система (1−λ)x1+x2+x3=1x1+(1−λ)x2+x3=1 x1+x2+(1−λ)x3=1 будет несовместна?

Answer 1

$det\left[\begin{array}{ccc}1-t&1&1\\1&1-t&1\\1&1&1-t\end{array}\right] = (3-t)t^{2}$

То есть при параметре, отличном от 3 и 0, единственное решение находится по формулам Крамера.

1. (t = 3)

Если рассмотреть параметр t=3, то по критерию Кронекера-Капелли получаем несовместность:

... = {некоторые манипуляции с матрицей системы} =

$\left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\0&1&-1\\0&0&0\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{c}-1\\-1\\3\end{array}\right]$ (Это не перемножение матриц, а присоединённая матрица)

2. (t = 0)

Система

$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1$

$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1$

$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1$

очевидно имеет бесконечно много решений

Ответ: 3

Answer 2

Чтобы определить, при каком значении параметра λ система будет несовместна, мы должны рассмотреть матрицу коэффициентов системы линейных уравнений и ее определитель.

Система уравнений может быть записана в матричной форме как AX = B, где:

A = [[1-λ, 1, 1], [1, 1-λ, 1], [1, 1, 1-λ]] X = [[x1], [x2], [x3]] B = [[1], [1], [1]]

Определитель матрицы A, обозначенный как det(A), позволяет определить, существует ли у этой системы решение. Если det(A) равен нулю, система несовместна.

Вычислим определитель матрицы A:

det(A) = (1-λ)((1-λ)(1-λ) - 1) - 1((1-λ)(1-λ) - 1) + 1(1-λ - (1-λ)) = (1-λ)(1-λ-1)(1-λ-1) - (1-λ)(1-λ-1) + (1-λ) = (1-λ)(-λ)(-λ) - (1-λ)(-λ) + (1-λ) = λ^2(1-λ) + λ(1-λ) + (1-λ) = λ^2 - λ^3 + λ - λ^2 + 1 - λ = -λ^3 + 2λ - λ^2 + 1

Теперь мы можем решить уравнение det(A) = 0:

-λ^3 + 2λ - λ^2 + 1 = 0

Упростим это уравнение и найдем его корни:

λ^3 - λ^2 + 2λ + 1 = 0

Поскольку это кубическое уравнение, его аналитическое решение может быть сложным. Мы можем использовать численные методы или программное обеспечение для нахождения приближенных значений корней.

Таким образом, для определения точных значений параметра λ, при которых система несовместна, потребуется использование численных методов или специализированного программного обеспечения.