Question

Найти критические точки y=x^2-4x+1

Answer 1

Объяснение:

ДАНО:

y=x^2-4x+1

ПЕРЕПИШЕМ ФУНКЦИЮ, ИСПОЛЬЗУЯ СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ ОБОЗНАЧЕНИЕ:

f(x)=x^2-4x+1

НАЙДЁМ ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ: "ОБЛАСТЬЮ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ ЯВЛЯЕТСЯ МНОЖЕСТВО ВСЕХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ" X∈R

ОПРЕДЕЛИМ ПРОИЗВОДНУЮ ФУНКЦИИ.

ВОЗЬМЁМ ПРОИЗВОДНУЮ ОТ ОБЕИХ ЧАСТЕЙ:

f'(x)=d/dx(x^2-4x+1)

ИСПОЛЬЗУЕМ ПРАВИЛО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ:

f'(x)=d/dx(x^2)+d/dx(-4x)+d/dx(1)

f'(x)=2x-4+0

f'(x)=2x-4

НАЙДЁМ ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ:

"ОБЛАСТЬЮ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ ЯВЛЯЕТСЯ МНОЖЕСТВО ВСЕХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ": Х∈R

ЧТОБЫ НАЙТИ КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ, ПОДСТАВИМ "f'(x)=0":

0=2x-4

x=2

ОПРЕДЕЛИМ ИНТЕРВАЛЫ ПО ОБЕ СТОРОНЫ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ:

<-∞,2>,<2,+∞>

ВЫБЕРЕМ ОДНУ ТОЧКУ ДЛЯ КАЖДОГО ИНТЕРВАЛА:

х1=1, х2=3

ВЫЧИСЛИМ ЗНАЧЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В ВЫБРАННОЙ ТОЧКЕ:

f'(1)=-2

f'(3)=2

ПОСКОЛЬКУ ПРОИЗВОДНАЯ ОТРИЦАТЕЛЬНА ДЛЯ х<2 И ПОЛОЖИТЕЛЬНА ДЛЯ х>2,

ФУНКЦИЯ ИМЕЕТ ЛОКАЛЬНЫЙ МИНИМУМ В х=2:

f(x)=x^2-4x+1, x=2

ВЫЧИСЛИМ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ ПРИ х=2:

f(2)=-3

ЛОКАЛЬНЫЙ МИНИМУМ ФУНКЦИИ РАВЕН -3 ПРИ х=2

ОТВЕТ: ЛОКАЛЬНЫЙ МИНИМУМ -3 В ТОЧКЕ х=2

Answer 2

Для нахождения критических точек функции y = x^2 - 4x + 1, вам потребуется найти ее производную и приравнять ее к нулю. Критические точки являются значениями x, при которых производная равна нулю или не существует.

Нахождение производной функции

Для начала, найдем производную функции y = x^2 - 4x + 1. Производная функции показывает скорость изменения функции в каждой точке.

Применим правила дифференцирования, чтобы найти производную:

y' = d/dx (x^2 - 4x + 1)

Применяя правило степенной функции, получим:

y' = 2x - 4

Приравнивание производной к нулю

Теперь, чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

2x - 4 = 0

Добавим 4 к обеим сторонам уравнения:

2x = 4

Разделим обе стороны на 2:

x = 2

Проверка на существование критических точек

После получения решения x = 2, мы должны проверить, существуют ли другие критические точки, при которых производная не существует.

Однако, в данном случае, функция y = x^2 - 4x + 1 является полиномом второй степени, и производная существует для всех значений x. Поэтому критической точкой будет только x = 2.

Нахождение значения y для критической точки

Чтобы найти значение y для критической точки, подставим x = 2 в исходную функцию:

y = (2)^2 - 4(2) + 1

y = 4 - 8 + 1

y = -3

Таким образом, критическая точка функции y = x^2 - 4x + 1 равна (2, -3).