Question

Спростить выраз 4cos2x*sin2x*cos4x

Answer 1

4cos2x*sin2x*cos4x=2sin4x*cos4x=sin8x

Answer 2

Для начала давайте разложим выражение 4cos(2x) * sin(2x) * cos(4x) на более простые множители и затем упростим его.

Выражение состоит из трех функций тригонометрии: cos(2x), sin(2x) и cos(4x). Для удобства, давайте разложим каждую из них по формулам двойного угла:

1. Разложение cos(2x): cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

2. Разложение sin(2x): sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

3. Разложение cos(4x): cos(4x) = cos^2(2x) - sin^2(2x)

Теперь, заменим каждую из трех функций в исходном выражении на результаты разложений:

4cos(2x) * sin(2x) * cos(4x) = 4(cos^2(x) - sin^2(x)) * (2sin(x)cos(x)) * (cos^2(2x) - sin^2(2x))

Далее, раскроем скобки и упростим полученное выражение:

4(cos^2(x) - sin^2(x)) * (2sin(x)cos(x)) * (cos^2(2x) - sin^2(2x)) = 4(2cos^3(x)sin(x) - 2sin^3(x)cos(x)) * (cos^2(2x) - sin^2(2x)) = 8cos^3(x)sin(x)cos^2(2x) - 8sin^3(x)cos(x)cos^2(2x) - 8cos^3(x)sin(x)sin^2(2x) + 8sin^3(x)cos(x)sin^2(2x)

Теперь давайте упростим полученное выражение дальше. Для этого воспользуемся формулами двойного угла и тригонометрическими тождествами:

1. cos^2(2x) = (1 + cos(4x)) / 2 2. sin^2(2x) = (1 - cos(4x)) / 2 3. cos^3(x) = cos(x) * cos^2(x) 4. sin^3(x) = sin(x) * sin^2(x)

Подставим эти значения в наше выражение:

8cos^3(x)sin(x)cos^2(2x) - 8sin^3(x)cos(x)cos^2(2x) - 8cos^3(x)sin(x)sin^2(2x) + 8sin^3(x)cos(x)sin^2(2x) = 8cos(x) * cos^2(x) * sin(x) * (1 + cos(4x)) / 2 - 8sin(x) * sin^2(x) * cos(x) * (1 + cos(4x)) / 2 - 8cos(x) * cos^2(x) * sin(x) * (1 - cos(4x)) / 2 + 8sin(x) * sin^2(x) * cos(x) * (1 - cos(4x)) / 2

Теперь упростим полученное выражение дальше:

4cos(x) * cos^2(x) * sin(x) * (1 + cos(4x)) - 4sin(x) * sin^2(x) * cos(x) * (1 + cos(4x)) - 4cos(x) * cos^2(x) * sin(x) * (1 - cos(4x)) + 4sin(x) * sin^2(x) * cos(x) * (1 - cos(4x))

Произведем дальнейшие упрощения:

4cos(x) * cos^2(x) * sin(x) + 4sin(x) * sin^2(x) * cos(x) = 4cos(x) * cos^2(x) * sin(x) + 4cos(x) * sin^2(x) * cos(x) = 4cos(x) * sin(x) * cos^2(x) + 4cos(x) * sin(x) * sin^2(x) = 4cos(x) * sin(x) * (cos^2(x) + sin^2(x)) = 4cos(x) * sin(x)

Таким образом, выражение 4cos(2x) * sin(2x) * cos(4x) равно 4cos(x) * sin(x).