Question

Найдите сумму первых восьми членоd арифметической прогрессии (an) если, a3+a7=30 и a6+a16=60

Answer 1

Объяснение:

$></p> <p><strong>Вычитаем из второго уравнения первое:</strong></p> <p><img src=$

Ответ: S₈=110.

Answer 2

Для решения этой задачи нам необходимо найти сумму первых восьми членов арифметической прогрессии. Дано, что a₃ + a₇ = 30 и a₆ + a₁₆ = 60. Мы можем использовать эти уравнения, чтобы найти значения отдельных членов прогрессии и затем найти сумму.

Нахождение значений отдельных членов прогрессии

Для начала, давайте разберемся с уравнением a₃ + a₇ = 30. Мы знаем, что в арифметической прогрессии разность между любыми двумя соседними членами одинаковая. Обозначим эту разность как d.

Таким образом, у нас есть следующие уравнения: a₃ = a₁ + 2d, a₇ = a₁ + 6d.

Подставляя эти значения в уравнение a₃ + a₇ = 30, получаем: a₁ + 2d + a₁ + 6d = 30, 2a₁ + 8d = 30, a₁ + 4d = 15.

Теперь рассмотрим уравнение a₆ + a₁₆ = 60. Аналогично, у нас имеются следующие уравнения: a₆ = a₁ + 5d, a₁₆ = a₁ + 15d.

Подставляя эти значения в уравнение a₆ + a₁₆ = 60, получаем: a₁ + 5d + a₁ + 15d = 60, 2a₁ + 20d = 60, a₁ + 10d = 30.

Теперь у нас есть система из двух уравнений: a₁ + 4d = 15, a₁ + 10d = 30.

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы устранить переменную a₁: (a₁ + 10d) - (a₁ + 4d) = 30 - 15, 6d = 15, d = 15/6, d = 2.5.

Теперь, когда мы знаем значение разности d, мы можем найти значение a₁, подставив его в одно из уравнений. Давайте подставим его в уравнение a₁ + 4d = 15: a₁ + 4 * 2.5 = 15, a₁ + 10 = 15, a₁ = 5.

Таким образом, мы нашли значения a₁ = 5 и d = 2.5.

Нахождение суммы первых восьми членов прогрессии

Теперь, когда у нас есть значения a₁ и d, мы можем найти сумму первых восьми членов арифметической прогрессии.

Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии: Sₙ = (n/2) * (2a₁ + (n - 1) * d).

В нашем случае, n = 8, a₁ = 5 и d = 2.5. Подставляя значения, получаем: S₈ = (8/2) * (2 * 5 + (8 - 1) * 2.5), S₈ = 4 * (10 + 7 * 2.5), S₈ = 4 * (10 + 17.5), S₈ = 4 * 27.5, S₈ = 110.

Таким образом, сумма первых восьми членов арифметической прогрессии равна 110.