Question

Найдите точки экстремума и промежутки функции y=2x^3-6x-4

Answer 1

Ответ:

Возрастает на промежутках: (-∞; -1]; [1; +∞)

Убывает на промежутке: [-1; 1].

x max = -1;   x min = 1.

Объяснение:

Требуется найти точки экстремума и промежутки функции

y=2x^3-6x-4.

Найдем производную, используя формулу:

$(x^n)'=nx^{n-1}$

$></p> <p></p> <p>Приравняем производную к нулю, найдем корни, определим знак производной на промежутках:</p> <p></p> <p><img src=$

• Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна - убывает.

Возрастает на промежутках: (-∞; -1]; [1; +∞)

Убывает на промежутке: [-1; 1].

• Если в точке производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке будет максимум, если с минуса на плюс - минимум.

⇒ x max = -1;   x min = 1.

Answer 2

Для нахождения точек экстремума и промежутков функции y = 2x^3 - 6x - 4, нам понадобится найти производную этой функции и решить уравнение производной равное нулю.

Нахождение производной функции

Для начала найдем производную функции y = 2x^3 - 6x - 4. Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности, используя правила дифференцирования. Производная слагаемого 2x^3 равна 6x^2, производная слагаемого -6x равна -6, а производная свободного члена -4 равна 0, так как постоянная не влияет на изменение функции.

Суммируя эти производные, получим производную функции y: y' = 6x^2 - 6

Нахождение точек экстремума

Чтобы найти точки экстремума, решим уравнение производной равное нулю: 6x^2 - 6 = 0

Решим это уравнение: 6x^2 = 6 x^2 = 1 x = ±1

Таким образом, функция имеет две точки экстремума при x = -1 и x = 1.

Определение типа экстремума

Чтобы определить тип экстремума в каждой из этих точек, можно использовать вторую производную тест. Для этого найдем вторую производную функции y.

Для нахождения второй производной возьмем производную производной функции y': y'' = (6x^2 - 6)' = 12x

Определение типа экстремума в точке x = -1

Подставим x = -1 во вторую производную: y''(-1) = 12(-1) = -12

Значение второй производной в точке x = -1 отрицательное (-12), что говорит о том, что функция имеет локальный максимум в этой точке.

Определение типа экстремума в точке x = 1

Подставим x = 1 во вторую производную: y''(1) = 12(1) = 12

Значение второй производной в точке x = 1 положительное (12), что говорит о том, что функция имеет локальный минимум в этой точке.

Нахождение промежутков функции

Теперь определим, на каких промежутках функция возрастает и убывает. Для этого можно использовать знаки первой производной.

Выразим знаки первой производной относительно точек экстремума:

- В интервале (-∞, -1) первая производная отрицательна, так как 6x^2 - 6 < 0 при x < -1. - В интервале (-1, 1) первая производная положительна, так как 6x^2 - 6 > 0 при -1 < x < 1. - В интервале (1, +∞) первая производная снова отрицательна, так как 6x^2 - 6 < 0 при x > 1.

Таким образом, функция y = 2x^3 - 6x - 4 возрастает на интервале (-∞, -1) и (1, +∞), а убывает на интервале (-1, 1).

График функции

Чтобы лучше визуализировать результаты, давайте построим график функции y = 2x^3 - 6x - 4:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-2, 2, 100)
y = 2 * x**3 - 6 * x - 4

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of y = 2x^3 - 6x - 4')
plt.grid(True)
plt.show()

График функции выглядит следующим образом:


На графике видно, что функция имеет локальный максимум в точке x = -1 и локальный минимум в точке x = 1. Промежутки возрастания функции находятся слева от x = -1 и справа от x = 1, а промежуток убывания находится между этими двумя точками.

Я надеюсь, что эта информация была полезной! Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.