Question

32. Усі вершини трапеції ABCD належать графіку функції y=36-x2, побудованому в прямокутній декартовій системі координат. Більша основа AD лежить на осі х. Яку найбільшу площу може мати трапеція ABCD?

Answer 1

Ответ:

Наибольшая площадь, которую может иметь трапеция ABCD равна 256 ед.²

Объяснение:

32. Все вершины трапеции ABCD принадлежат графику функции y = 36 - x², построенном в прямоугольной декартовой системе координат. Большее основание AD лежит на оси х. Какую наибольшую площадь может иметь трапеция ABCD?

Построим график у = 36 - х²

-парабола, ветви вниз, координаты вершины (0; 36).

Найдем точки пересечения с осью Ох:

36 - х² = 0

(6 - х)(6 + х) = 0

х₁ = 6;   х₂ = -6.

Теперь определимся с трапецией, вершины которой принадлежат построенному графику.

Нижнее основание лежит на оси Ох.

Длина нижнего основания равна:

6 - (-6) = 12.

Абсциссы верхнего основания нам неизвестны. Обозначим их х₀ и (-х₀).

Тогда длина верхнего основания равна:

х₀ - (-х₀) = 2х₀

А высота трапеции будет равна

у = 36 - х₀²

• Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

$\displaystyle \bf S=\frac{12+2x}{2}\cdot(36-x^2)=(6+x)(36-x^2)$

Для того, чтобы найти максимальное значение функции, надо найти производную:

$\displaystyle \bf S'=1\cdot(36-x^2)+(6+x)\cdot(-2x)=\\\\=36-x^2-12x-2x^2=-3x^2-12x+36$

Приравняем производную к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

• Если "+" - функция возрастает, если "-" - функция убывает.

$\displaystyle \bf -3(x^2+4x-12)=0\\\\D=16+48=64\\\\x_1=\frac{-4+8}{2}=2;\;\;\;\;\;x_2=\frac{-4-8}{2}=-6$

$-----[-6]+++++[2]-----$

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

⇒ x min = -6;   x max = 2.

⇒ Максимальная площадь трапеции будет при х = 2:

$\displaystyle \bf S(2) = (6 +2)(36-2^2) =8\cdot32=256$ (ед.²)

#SPJ5

Answer 2

Для знаходження найбільшої площі трапеції ABCD, спочатку знайдемо координати вершин трапеції. Оскільки усі вершини трапеції належать графіку функції y=36-x^2, ми можемо скористатися цією функцією для знаходження координат вершин.

Оскільки більша основа AD лежить на осі х, то координати вершин A і D будуть (a, 0) і (-a, 0), де a - довжина половини більшої основи.

Тепер знайдемо координати вершин B і C. Оскільки всі вершини належать графіку функції y=36-x^2, то для знаходження координат вершин B і C можемо підставити координати A і D у рівняння функції. Таким чином, отримаємо координати вершин B і C.

Далі знайдемо довжини основ трапеції: основа AD має довжину 2a, а основа BC має довжину 2b. Площа трапеції обчислюється за формулою S = (a + b) * h / 2, де h - висота трапеції.

Оскільки трапеція ABCD розташована в межах графіку функції y=36-x^2, то висоту трапеції можна знайти як різницю значень функції у вершинах A і B (або C і D).

Таким чином, знаходячи координати вершин та використовуючи формулу для обчислення площі трапеції, ми можемо знайти найбільшу площу трапеції ABCD.