Question

3. Упростите выражение: а) (sin⁡α/(1+cos⁡α )+sin⁡α/(1-cos⁡α )) 1/(1+〖ctg〗^2 α) ​

Answer 1

Ответ:

$2sina$

Решение:

$(\frac{sina}{1+cosa}+\frac{sina}{1-cosa})*\frac{1}{1+ctg^2a}=\\\\=\frac{sina(1-cosa)+sina(1+cosa)}{(1+cosa)(1-cosa)}*\frac{1}{1+ctg^2a}=\\\\=\frac{sina(1-cosa+1+cosa)}{1-cos^2a}*\frac{1}{1+\frac{cos^2a}{sin^2a}}=\\\\=\frac{sina*2}{sin^2a}*\frac{1}{\frac{sin^2a+cos^2a}{sin^2a}}=\\\\=\frac{2}{sina}*\frac{sin^2a}{1}=2sina$

Формулы для решения:

$sin^2a+cos^2a=1\\\\sin^2a=1-cos^2a\\\\ctga=\frac{cosa}{sina}$

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

Answer 2

Давайте упростим данное выражение.

Заметим, что мы можем объединить дроби по общему знаменателю и использовать тригонометрические тождества для упрощения.

Выражение:

(sin⁡α/(1+cos⁡α ) + sin⁡α/(1-cos⁡α )) * 1/(1+ctg^2 α)

Для начала, посмотрим на числитель первой дроби:

sin⁡α/(1+cos⁡α ) + sin⁡α/(1-cos⁡α )

Общий знаменатель можно найти, перемножив дроби:

[(sin⁡α * (1-cos⁡α)) + (sin⁡α * (1+cos⁡α))] / [(1+cos⁡α ) * (1-cos⁡α )]

Теперь раскроем скобки и сократим некоторые слагаемые:

[2sin⁡α] / [1 - cos^2α] = 2sin⁡α / sin^2α

Теперь у нас осталась одна дробь:

(2sin⁡α / sin^2α) * 1/(1+ctg^2 α)

Сократим sin⁡α в числителе и знаменателе:

2 / sinα * 1/(1+ctg^2 α)

Поскольку ctg^2 α = 1 / tan^2 α, мы можем заменить ctg^2 α на tan^2 α:

2 / sinα * 1/(1+tan^2 α)

Используем определение тангенса: tan α = sin α / cos α

2 / sinα * 1/(1+ (sin^2 α / cos^2 α))

Теперь объединим дроби, перемножим числители и знаменатели:

2 / sinα * cos^2 α / (cos^2 α + sin^2 α)

Заметим, что cos^2 α + sin^2 α = 1:

2cos^2 α / sinα

Таким образом, упрощенное выражение равно 2cos^2 α / sinα.