Question

Знайти похідну функції y=x^2-8x/x+2 в точці x0=0

Answer 1

$y=\dfrac{x^2-8x}{x+2}\ \ ,\ \ x_0=0$

Производная дроби   $\Big(\dfrac{u}{v}\Big)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$  .

 $y'=\dfrac{(2x-8)(x+2)-(x^2-8x)}{(x+2)^2}=\dfrac{2x^2+4x-8x-16-x^2+8x}{(x+2)^2}=\\\\\\=\dfrac{x^2+4x-16}{(x+2)^2}$  

$y'(0)=\dfrac{-16}{4}=-4$

Answer 2

Щоб знайти похідну функції у заданій точці, скористаємося правилом диференціювання частини (quotient rule).

Почнемо з функції: y = (x^2 - 8x) / (x + 2)

Застосуємо формулу правила диференціювання частини: (dy/dx) = [(f'(x) * g(x)) - (f(x) * g'(x))] / (g(x))^2

де f(x) = x^2 - 8x та g(x) = x + 2.

Обчислимо похідні: f'(x) = d/dx (x^2 - 8x) = 2x - 8

g'(x) = d/dx (x + 2) = 1

Тепер підставимо значення у формулу: (dy/dx) = [(2x - 8) * (x + 2) - (x^2 - 8x) * 1] / (x + 2)^2

Для точки x0 = 0: (dy/dx) = [(2 * 0 - 8) * (0 + 2) - (0^2 - 8 * 0) * 1] / (0 + 2)^2 = (-8 * 2 - 0 * 1) / 2^2 = (-16 - 0) / 4 = -16 / 4 = -4

Отже, похідна функції y = x^2 - 8x / (x + 2) у точці x0 = 0 дорівнює -4.