Question

ДАМ 60 БАЛЛОВ!!!Дано: А(-2; 4), В(3; 1), С(-3; -4). Постройте треугольник А1В1С1, симметричный треугольнику АВС относительно точки О(0;0). Укажите координаты точек А1 ,В1 и С1. Будут ли прямые АС и С1А1 параллельны?

Answer 1

Ответ:

координаты точек  А1( 2; -4);   В1(-3; -1);  С1(3: 4)

АС ║ С1А1

Объяснение:

Точка, симметричная точке A(x₀, y₀) относительно начала координат, имеет абсциссу и ординату, равные по абсолютной величине абсциссе и ординате точки A, но противоположные им по знаку

А1(-х₀; -у₀).

Построим точки, симметричные данным относительно начала координат

А(-2; 4) симметричная точка А1( 2; -4)

В(3; 1)                                          В1(-3; -1)

С(-3; -4)                                       С1(3: 4)

Соединим точки, получим треугольник, симметричный данному относительно начала координат.

Напишем каноническое уравнение прямой АС, проходящей через точки  А(-2; 4) и С(-3; -4) .      

$\displaystyle \frac{x-(-2)}{(-3)-(-2)} =\frac{y-4}{(-4)-4} \\\\\\\frac{x+2}{-1} =\frac{y-4}{-8}$

уравнение с угловым коэффициентом

у = 8х +20

Сделаем то же самое для прямой А1С1, проходящей через точки

А1( 2; -4) и   С1(3: 4)

$\displaystyle \frac{x-2}{3-(-2)} =\frac{y-(-4)}{4-(-4)} \\\\\\\frac{x-2}{1} =\frac{y+4}{8}$

уравнение с угловым коэффициентом

у = 8х -20

Угловые коэффициенты равны  ⇒ прямые параллельны.

Answer 2

Чтобы построить треугольник А1В1С1, симметричный треугольнику АВС относительно точки О(0;0), нужно отразить координаты точек А, В и С относительно начала координат.

Для отражения точки (x, y) относительно начала координат, нужно изменить знаки координат: (x', y') = (-x, -y).

Таким образом, координаты точек А1, В1 и С1 будут следующими:

А1: (-(-2), -4) = (2, -4) В1: (-(3), -1) = (-3, -1) С1: (-(-3), 4) = (3, 4)

Прямая АС задается уравнением (y - y1) / (x - x1) = (y2 - y1) / (x2 - x1), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек на прямой.

Прямая С1А1 задается уравнением (y - y3) / (x - x3) = (y4 - y3) / (x4 - x3), где (x3, y3) и (x4, y4) - координаты точек на прямой.

Подставим значения координат точек АС и С1А1:

Для прямой АС: (x1, y1) = (-2, 4) (x2, y2) = (-3, -4)

(y - 4) / (x - (-2)) = (-4 - 4) / (-3 - (-2)) (y - 4) / (x + 2) = (-8) / (-1) (y - 4) / (x + 2) = 8

Для прямой С1А1: (x3, y3) = (3, 4) (x4, y4) = (2, -4)

(y - 4) / (x - 3) = (-4 - 4) / (2 - 3) (y - 4) / (x - 3) = (-8) / (-1) (y - 4) / (x - 3) = 8

Обе прямые имеют одинаковый угловой коэффициент, равный 8, поэтому они параллельны.