Question

1. Решите неравенство методом парабол: 3x ^ 2 + x - 2 >= 0

Answer 1

Решение.

$\bf 3x^2+x-2\geq 0$

Найдём сначала нули квадратичной функции.

$\bf 3x^2+x-2=0\ \ ,\ \ \ D=b^2-4ac=1+4\cdot 3\cdot 2=25=5^2\ ,\\\\x_1=\dfrac{-1-5}{6}=-1\ \ ,\ \ x_2=\dfrac{-1+5}{6}=\dfrac{2}{3}$

Так как старший коэффициент  а=3>0 , то ветви параболы направлены вверх . Схематически нарисуем параболу и определим, при каких значениях  х  её график лежит выше оси ОХ . В этих промежутках поставлены знаки плюс .

Ответ:   $\boldsymbol{ x\in (-\infty ;-1\ ]\cup [\ \frac{2}{3}\ ;+\infty \, )}$  .

Answer 2

Чтобы решить данное неравенство методом парабол, мы должны найти корни квадратного уравнения, соответствующего левой части неравенства, и затем проанализировать знаки в разных интервалах между корнями.

1. Сначала решим квадратное уравнение 3x^2 + x - 2 = 0. Для этого используем формулу дискриминанта D = b^2 - 4ac, где a = 3, b = 1, c = -2.

   D = (1)^2 - 4 * 3 * (-2) = 1 + 24 = 25

   Так как D > 0, у нас есть два действительных корня: x1,2 = (-b ± √D) / (2a)

   x1 = (-1 + √25) / (2 * 3) = (−1 + 5) / 6 = 4/6 = 2/3

   x2 = (-1 - √25) / (2 * 3) = (−1 - 5) / 6 = -6/6 = -1

   Итак, корни уравнения 3x^2 + x - 2 = 0 равны x1 = 2/3 и x2 = -1.

2. Теперь построим таблицу знаков, чтобы определить знак выражения 3x^2 + x - 2 на разных интервалах между корнями:

   Интервал | 3x^2 + x - 2

   (-∞, -1) | -
   (-1, 2/3) | +
   (2/3, +∞) | +

   Знак "+" означает, что выражение 3x^2 + x - 2 положительно на соответствующем интервале, а знак "-" означает, что оно отрицательно.

3. Исходя из таблицы знаков, мы видим, что неравенство 3x^2 + x - 2 ≥ 0 выполняется на интервалах (-∞, -1] и [2/3, +∞).

   Итак, решением данного неравенства является множество всех значений x, которые лежат на интервалах (-∞, -1] и [2/3, +∞).