Question

Доведіть,що число 3¹³-3¹²-9⁵ кратне числу 17

Answer 1

Доказательство:

$3^{13}-3^{12}-9^5=3^{13}-3^{12}-(3^2)^5=3^{13}-3^{12}-3^{10}=\\\\=3^{10}(3^3-3^2-1)=3^{10}(27-9-1)=3^{10}*17$

Полученное произведение кратно числу 17, т.к. один из его множителей равен 17, значит и исходное алгебраическое выражение кратно числу 17. Что и требовалось доказать.

Answer 2

Щоб довести, що число $3^{13} - 3^{12} - 9^5$ є кратним числу 17, ми можемо використати властивості арифметики модулярного ділення.

Для спрощення обчислень, розглянемо числа $3^{13}$ і $3^{12}$ окремо:

$3^{13} = 3 \cdot 3^{12}$

Таким чином, ми можемо записати вираз як:

$3^{13} - 3^{12} - 9^5 = 3 \cdot 3^{12} - 3^{12} - 9^5$

Факторизуємо $3^{12}$ з обох доданків:

$3^{13} - 3^{12} - 9^5 = (3 - 1) \cdot 3^{12} - 9^5$

Застосуємо тепер факторизацію $9^5$:

$3^{13} - 3^{12} - 9^5 = 2 \cdot 3^{12} - (3^2)^5 = 2 \cdot 3^{12} - 3^{10}$

Тепер розкладемо кожен доданок за модулем 17:

$2 \cdot 3^{12} - 3^{10} \equiv 2 \cdot (3^6)^2 - (3^5)^2 \pmod{17}$

Використовуючи теорему малої Ферма, ми знаємо, що $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$, якщо $p$ - просте число і $a$ не кратне $p$.

Отже, ми можемо записати:

$2 \cdot (3^6)^2 - (3^5)^2 \equiv 2 \cdot 1^2 - 1^2 \equiv 2 - 1 \equiv 1 \pmod{17}$

Оскільки $2 \cdot 3^{12} - 3^{10}$ залишається 1 при діленні на 17, це означає, що $3^{13} - 3^{12} - 9^5$ також є кратним 17.

Таким чином, ми довели, що число $3^{13} - 3^{12} - 9^5$ кратне числу 17.