Question

ПОЖАЙЛУСТА СРОЧНОДоведіть нерівність25m^2+n^2>=10mn

Answer 1

Ответ:

25m²+n²=10mn=25m²n²>10mn

Нерiвнiсть доведена

Answer 2

Щоб довести нерівність $25m^2 + n^2 \geq 10mn$, розглянемо дві ситуації: коли $m = 0$ та коли $m \neq 0$.

Випадок 1: $m = 0$ Підставимо $m = 0$ в нерівність: $25(0)^2 + n^2 \geq 10(0)n$ $n^2 \geq 0$

Оскільки $n^2$ завжди не менше нуля, то нерівність виконується для будь-якого значення $n$ при $m = 0$.

Випадок 2: $m \neq 0$ Розділимо обидві частини нерівності на $m^2$ (можемо це зробити, оскільки $m \neq 0$, і множення на $m^2$ не змінює напряму нерівності): $25 + \left(\frac{n}{m}\right)^2 \geq 10\left(\frac{n}{m}\right)$

Позначимо $x = \frac{n}{m}$, тоді маємо: $25 + x^2 \geq 10x$

Тепер спробуємо вирішити цю квадратну нерівність. Перенесемо всі терміни в одну частину: $x^2 - 10x + 25 \geq 0$

Ця квадратна нерівність може мати два розв'язки: або два дійсних корені, або жодного. Зауважимо, що ліва сторона нерівності може бути записана у вигляді квадрату двох додатних чисел: $(x-5)^2$. Тому нерівність може бути переписана так: $(x-5)^2 \geq 0$

Це нерівність, яка виконується для будь-якого значення $x$. Зауважимо, що $x = \frac{n}{m}$, тому це означає, що нерівність виконується для будь-якого співвідношення між $n$ та $m$, де $m \neq 0$.

Отже, нерівність $25m^2 + n^2 \geq 10mn$ виконується для $m = 0$ та для будь-якого співвідношення